Полиномы Фибоначчи - Fibonacci polynomials - Wikipedia

В математика, то Многочлены Фибоначчи площадь полиномиальная последовательность что можно рассматривать как обобщение Числа Фибоначчи. Полиномы, порожденные аналогичным образом из Числа Лукаса называются Полиномы Лукаса.

Определение

Эти Фибоначчи многочлены определяются отношение повторения:[1]

Первые несколько полиномов Фибоначчи:

Многочлены Лукаса используют одно и то же повторение с разными начальными значениями:[2]

Первые несколько полиномов Лукаса:

Числа Фибоначчи и Люка восстанавливаются путем вычисления многочленов в Икс = 1; Числа Пелла восстанавливаются путем оценки Fп в Икс = 2. Степени Fп является п - 1 и степень Lп является п. В обычная производящая функция для последовательностей:[3]

Многочлены могут быть выражены через Последовательности Лукаса в качестве

Идентичности

Как частные случаи последовательностей Люка, многочлены Фибоначчи удовлетворяют ряду тождеств.

Во-первых, они могут быть определены для отрицательных индексов как[4]

Другие личности включают:[4]

Выражения в закрытой форме, похожие на формулу Бине:[4]

куда

решения (в т) из

Связь между многочленами Фибоначчи и стандартными базисными многочленами задается формулой

Например,

Доказательство этого факта дается начиная со страницы 5. Вот.

Комбинаторная интерпретация

Коэффициенты полиномов Фибоначчи могут быть считаны из треугольника Паскаля по «мелким» диагоналям (показаны красным). Суммы коэффициентов - это числа Фибоначчи.

Если F(п,k) - коэффициент при Иксk в Fп(Икс), так

тогда F(п,k) - количество способов п−1 на 1 прямоугольник можно выложить плиткой 2 на 1 домино и квадратов 1 на 1 так, чтобы ровно k квадраты используются.[1] Эквивалентно, F(п,k) - количество способов написания п−1 как заказанная сумма включая только 1 и 2, так что 1 используется точно k раз. Например, F (6,3) = 4 и 5 можно записать 4 способами: 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1. , как сумма, включающая только 1 и 2, при этом 1 используется 3 раза. Подсчитав, сколько раз 1 и 2 используются в такой сумме, очевидно, что F(п,k) равно биномиальный коэффициент

когда п и k имеют противоположный паритет. Это дает возможность читать коэффициенты из Треугольник Паскаля как показано справа.

Рекомендации

  1. ^ а б Бенджамин и Куинн стр. 141
  2. ^ Бенджамин и Куинн стр. 142
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Многочлен Фибоначчи». MathWorld.
  4. ^ а б c Springer

дальнейшее чтение

внешняя ссылка