Дуоцилиндр - Duocylinder

Стереографическая проекция дуоцилиндра гребень (см. ниже), как плоский тор. Гребень вращается в плоскости XW.

В дуоцилиндр, или же двойной цилиндр, представляет собой геометрический объект, вложенный в 4-размерный Евклидово пространство, определяемый как Декартово произведение из двух диски соответствующих радиусов р₁ и р₂:

{ displaystyle D = {(x, y, z, w) | x ^ {2} + y ^ {2} leq r_ {1} ^ {2}, z ^ {2} + w ^ {2 } leq r_ {2} ^ {2} }}

Это аналог цилиндр в 3-мерном пространстве, которое является декартовым произведением диска с отрезок. Но в отличие от цилиндра обе гиперповерхности ( обычный дуоцилиндр) являются конгруэнтный.

Его двойник - это дуошпиндель, состоящий из двух окружностей, одна в плоскости XY, а другая в плоскости ZW.

Геометрия

Ограничивающие 3-многообразия

Дуоцилиндр ограничен двумя взаимно перпендикуляр 3-коллекторы с тор -подобно поверхности, соответственно описываются формулами:

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r_ {1} ^ {2}, z ^ {2} + w ^ {2} leq r_ {2} ^ {2}}

и

{ displaystyle z ^ {2} + w ^ {2} = r_ {2} ^ {2}, x ^ {2} + y ^ {2} leq r_ {1} ^ {2}}

Дуоцилиндр назван так потому, что эти два ограничивающих 3-многообразия можно рассматривать как трехмерные. цилиндры 'изогнутые' в 4-мерном пространстве так, что они образуют замкнутые петли в XY и ZW самолеты. Дуоцилиндр имеет вращательная симметрия в обоих этих самолетах.

Правильный дуоцилиндр состоит из двух конгруэнтных ячеек, одной квадратной плоской грани тора (гребня), нулевых ребер и нулевых вершин.

Гребень

В гребень дуоцилиндра - это двумерное многообразие, являющееся границей между двумя ограничивающими (сплошными) ячейками тора. Он имеет форму Клиффорд тор, который является декартовым произведением двух окружностей. Интуитивно это может быть построено следующим образом: бросьте двумерный прямоугольник в цилиндр так, чтобы его верхний и нижний края совпали. Затем катите цилиндр в плоскости, перпендикулярной трехмерной гиперплоскости, в которой находится цилиндр, так, чтобы два его круглых конца встретились.

Полученная форма топологически эквивалентна евклидовой 2-тор (форма пончика). Однако, в отличие от последнего, все части его поверхности деформируются одинаково. На пончике поверхность вокруг «отверстия для пончика» деформируется с отрицательной кривизной, а внешняя поверхность деформируется с положительной кривизной.

Гребень дуоцилиндра можно рассматривать как реальную глобальную форму экранов видеоигры Такие как Астероиды, где выход за край одной стороны экрана ведет к другой стороне. Его нельзя без искажения встроить в трехмерное пространство, потому что для соединения обеих пар ребер требуется две степени свободы в дополнение к присущей ему двухмерной поверхности.

Дуоцилиндр может быть построен из 3-сфера "отрезая" выпуклость 3-сферы по обе стороны от гребня. Аналог этого на 2-сфере состоит в том, чтобы нарисовать круги малой широты под углом ± 45 градусов и отрезать выпуклость между ними, оставив цилиндрическую стенку, и отрезав вершины, оставив плоские вершины. Эта операция эквивалентна удалению выбранных вершин / пирамид из многогранники, но поскольку 3-сфера гладкая / регулярная, вам необходимо обобщить операцию.

В двугранный угол между двумя трехмерными гиперповерхностями по обе стороны от гребня составляет 90 градусов.

Прогнозы

Параллельные проекции дуоцилиндра в трехмерное пространство и его поперечные сечения в трехмерном пространстве образуют цилиндры. Перспективные проекции дуоцилиндрической формы тор -подобные формы с заполненным «бубликом».

Отношение к другим формам

Дуоцилиндр - это ограничивающая форма дуопризма поскольку число сторон в составляющих многоугольных призмах приближается к бесконечности. Таким образом, дуопризмы служат хорошим политопный приближения дуоцилиндра.

В 3-м пространстве цилиндр можно считать промежуточным между куб и сфера. В 4-м пространстве есть три промежуточные формы между тессеракт (1-мяч × 1 мяч × 1 мяч × 1 мяч) и гиперсфера (4-мяч ). Они:

кубиндер (2-шар × 1-шар × 1-шар), поверхность которого состоит из четырех цилиндрических ячеек и одного квадратного тора.
сфериндер (3-ball × 1-ball), поверхность которого состоит из трех ячеек - двух сфер и области между ними.
дуоцилиндр (2-шар × 2-шар), поверхность которого состоит из двух тороидальных ячеек.

Дуоцилиндр - единственный из трех стандартных. Эти конструкции соответствуют пяти перегородки из 4, количество измерений.

Смотрите также

внешняя ссылка

(Wayback Machine копия)