Категория представительств - Category of representations - Wikipedia

В теория представлений, то категория представительств некоторых алгебраическая структура А имеет представления А в качестве объекты и эквивариантные отображения в качестве морфизмы между ними. Одна из основных задач теории представлений - понять условия, при которых эта категория полупростой; то есть, распадается ли объект на простые объекты (видеть Теорема Машке для случая конечные группы ).

В Таннакианский формализм дает условия, при которых группа грамм может быть восстановлен из категории его представлений вместе с забывчивый функтор к категория векторных пространств.^[1]

В Кольцо Grothendieck категории конечномерных представлений группы грамм называется представительное кольцо из грамм.

Определения

В зависимости от типов представлений, которые вы хотите рассмотреть, обычно используются несколько разные определения.

Для конечной группы грамм и поле F, то категория представительств грамм над F имеет

• объекты: пары (V, ж) из векторные пространства V над F и представительства ж из грамм в этом векторном пространстве
• морфизмы: эквивариантные отображения
• состав: the сочинение эквивариантных отображений
• идентичности: функция идентичности (которое является эквивариантным отображением).

Категория обозначается ${ displaystyle operatorname {Rep} _ {F} (G)}$ или же ${ displaystyle operatorname {Rep} (G)}$.

Для Группа Ли, обычно требуется, чтобы представления были гладкий или же допустимый. В случае Алгебра Ли, видеть Представление алгебры Ли. Смотрите также: категория O.

Категория модулей над групповым кольцом

Существует изоморфизм категорий между категорией представлений группы грамм над полем F (описано выше) и категория модулей над групповое кольцо F[грамм], обозначенный F[грамм] -Mod.

Теоретико-категориальное определение

Каждая группа грамм можно рассматривать как категорию с одним объектом, где морфизмы в этой категории находятся элементы грамм а состав задается групповой операцией; так грамм это группа автоморфизмов уникального объекта. Учитывая произвольную категорию C, а представление из грамм в C это функтор из грамм к C. Такой функтор отправляет уникальный объект объекту, скажем, Икс в C и вызывает групповой гомоморфизм ${ displaystyle G to operatorname {Aut} (X)}$; видеть Группа автоморфизмов # В теории категорий для большего. Например, грамм-набор эквивалентен функтору из грамм к Набор, то категория наборов, а линейное представление эквивалентно функтору к Vect_F, то категория векторных пространств над полем F.^[2]

В этой настройке категория линейных представлений грамм над F категория функторов грамм → Vect_F, у которого есть естественные преобразования как его морфизмы.

Характеристики

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Ноябрь 2017 г.)

Категория линейных представлений группы имеет моноидальная структура предоставленный тензорное произведение представлений, который является важным ингредиентом двойственности Таннака-Крейна (см. ниже).

Теорема Машке заявляет, что когда характеристика из F не разделяет порядок из грамм, категория представлений грамм над F является полупростой.

Ограничение и индукция

Учитывая группу грамм с подгруппа ЧАС, существуют два фундаментальных функтора между категориями представлений грамм и ЧАС (над фиксированным полем): один забывчивый функтор называется функтор ограничения

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Res} _ {H} ^ {G}: operatorname {Rep} (G) & longrightarrow operatorname {Rep} (H) pi & longmapsto пи | _ {H} конец {выровнено}}}$

а другой, индукционный функтор

${ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}: operatorname {Rep} (H) to operatorname {Rep} (G)}$.

Когда грамм и ЧАС конечные группы, они прилегающий друг другу

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {G} ( operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} W, U) cong operatorname {Hom} _ {H} (W, operatorname {Res} _ {H} ^ {G} U)}$,

теорема называется Взаимность Фробениуса.

Основной вопрос заключается в том, ведет ли разложение на неприводимые представления (простые объекты категории) при ограничении или индукции. На вопрос может ответить, например, Теория Макки.

Двойственность Таннаки-Крейна

Двойственность Таннаки – Крейна касается взаимодействия компактный топологическая группа и его категория линейные представления. Теорема Таннаки описывает обратный переход из категории конечномерных представлений группы грамм обратно в группу грамм, позволяющий восстановить группу из категории представлений. По сути, теорема Крейна полностью характеризует все категории, которые могут возникнуть из группы таким образом. Эти концепции могут быть применены к представлениям нескольких различных структур, подробности см. В основной статье.

Примечания

Рекомендации

• Андре, Ив (2004), Une введение aux motifs (мотивы purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, 17, Париж: Société Mathématique de France, ISBN  978-2-85629-164-1, МИСТЕР  2115000

внешняя ссылка

• https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+presentations