Взаимность Фробениуса - Frobenius reciprocity

В математика, и в частности теория представлений, Взаимность Фробениуса это теорема, выражающая двойственность между процессом ограничение и введение. Его можно использовать для использования знаний о представлениях подгруппы для поиска и классификации представлений «больших» групп, которые их содержат. Он назван в честь Фердинанд Георг Фробениус, изобретатель теория представлений конечных групп.

Заявление

Теория характера

Изначально теорема была сформулирована в терминах теория характера. Позволять грамм быть конечным группа с подгруппа ЧАС, позволять ${ displaystyle operatorname {Res} _ {H} ^ {G}}$ обозначают ограничение символа, или, в более общем смысле, функция класса из грамм к ЧАС, и разреши ${ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}}$ обозначить индуцированная функция класса функции данного класса на ЧАС. Для любой конечной группы А, существует внутренний продукт ${ displaystyle langle -, - rangle _ {A}}$ на векторное пространство функций класса ${ displaystyle A to mathbb {C}}$ (подробно описано в статье Соотношения ортогональности Шура ). Теперь для любых функций класса ${ displaystyle psi: H to mathbb {C}}$ и ${ displaystyle varphi: G to mathbb {C}}$ , имеет место равенство

{ displaystyle langle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} psi, varphi rangle _ {G} = langle psi, operatorname {Res} _ {H} ^ {G} varphi rangle _ {H}}

.^[1]^[2]

Другими словами, ${ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}}$ и ${ displaystyle operatorname {Res} _ {H} ^ {G}}$ находятся Эрмитово сопряженный.

Доказательство взаимности Фробениуса для функций классов

Позволять ${ displaystyle psi: H to mathbb {C}}$ и ${ displaystyle varphi: G to mathbb {C}}$ быть функциями класса.

Доказательство. Каждую функцию класса можно записать как линейная комбинация неприводимых персонажей. В качестве ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ это билинейная форма, без ограничения общности можно считать ${ displaystyle psi}$ и ${ displaystyle varphi}$ быть характерами неприводимых представлений ${ displaystyle H}$ в ${ displaystyle W}$ и из ${ displaystyle G}$ в ${ Displaystyle V,}$ соответственно. Определим ${ displaystyle psi (s) = 0}$ для всех ${ displaystyle s in G setminus H.}$ Тогда у нас есть

{ displaystyle { begin {align} langle { text {Ind}} ( psi), varphi rangle _ {G} & = { frac {1} {| G |}} sum _ {t in G} { text {Ind}} ( psi) (t) varphi (t ^ {- 1}) & = { frac {1} {| G |}} sum _ {t в G} { frac {1} {| H |}} sum _ {s in G atop s ^ {- 1} ts in H} psi (s ^ {- 1} ts) varphi ( t ^ {- 1}) & = { frac {1} {| G |}} { frac {1} {| H |}} sum _ {t in G} sum _ {s в G} psi (s ^ {- 1} ts) varphi ((s ^ {- 1} ts) ^ {- 1}) & = { frac {1} {| G |}} { гидроразрыв {1} {| H |}} sum _ {t in G} sum _ {s in G} psi (t) varphi (t ^ {- 1}) & = { frac {1} {| H |}} sum _ {t in G} psi (t) varphi (t ^ {- 1}) & = { frac {1} {| H |}} sum _ {t in H} psi (t) varphi (t ^ {- 1}) & = { frac {1} {| H |}} sum _ {t in H} psi (t) { text {Res}} ( varphi) (t ^ {- 1}) & = langle psi, { text {Res}} ( varphi) rangle _ {H} end {выровнено}}}

В ходе этой последовательности уравнений мы использовали только определение индукции по функциям классов и свойства персонажей. ${ displaystyle Box}$

Альтернативное доказательство. В терминах групповой алгебры, то есть альтернативного описания индуцированного представления, взаимность Фробениуса является частным случаем общего уравнения замены колец:

{ displaystyle { text {Hom}} _ { mathbb {C} [H]} (W, U) = { text {Hom}} _ { mathbb {C} [G]} ( mathbb {C } [G] otimes _ { mathbb {C} [H]} W, U).}

Это уравнение по определению эквивалентно

{ displaystyle langle W, { text {Res}} (U) rangle _ {H} = langle W, U rangle _ {H} = langle { text {Ind}} (W), U rangle _ {G}.}

Поскольку эта билинейная форма совмещает билинейную форму с соответствующими символами, теорема следует без вычислений. ${ displaystyle Box}$

Теория модулей

Как объяснено в разделе Теория представлений конечных групп # Представления, модули и алгебра свертки, теория представлений группы грамм над полем K в определенном смысле эквивалентна теории модули над групповая алгебра K[грамм].^[3] Следовательно, имеется соответствующая теорема взаимности Фробениуса для K[грамм] -модули.

Позволять грамм быть группой с подгруппой ЧАС, позволять M быть ЧАС-модуль, и пусть N быть грамм-модуль. На языке теории модулей индуцированный модуль ${ displaystyle K [G] otimes _ {K [H]} M}$ соответствует индуцированному представлению ${ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}}$ , тогда как ограничение скаляров ${ displaystyle {_ {K [H]}} N}$ соответствует ограничению ${ displaystyle operatorname {Res} _ {H} ^ {G}}$ . Соответственно, утверждение выглядит следующим образом: Следующие множества гомоморфизмов модулей находятся в биективном соответствии:

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {K [G]} (K [G] otimes _ {K [H]} M, N) cong operatorname {Hom} _ {K [H]} (M, {_ {K [H]}} N)}

.^[4]^[5]

Как отмечено ниже в разделе теории категорий, этот результат применим к модулям над всеми кольцами, а не только к модулям над групповыми алгебрами.

Теория категорий

Позволять грамм быть группой с подгруппой ЧАС, и разреши ${ displaystyle operatorname {Res} _ {H} ^ {G}, operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}}$ быть определенным, как указано выше. Для любой группы $А$ и поле $K$ позволять ${ displaystyle { textbf {Rep}} _ {A} ^ {K}}$ обозначить категория линейных представлений А над K. Существует забывчивый функтор

{ displaystyle { begin {align} operatorname {Res} _ {H} ^ {G}: { textbf {Rep}} _ {G} & longrightarrow { textbf {Rep}} _ {H} (V, rho) & longmapsto operatorname {Res} _ {G} ^ {H} (V, rho) end {align}}}

Этот функтор действует как личность на морфизмы. Существует функтор, идущий в обратном направлении:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}: { textbf {Rep}} _ {H} & longrightarrow { textbf {Rep}} _ {G} (W, tau) & longmapsto operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} (W, tau) end {align}}}

Эти функторы образуют сопряженная пара ${ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} dashv operatorname {Res} _ {H} ^ {G}}$ .^[6]^[7] В случае конечных групп они фактически сопряжены друг с другом как слева, так и справа. Это присоединение порождает универсальная собственность для индуцированного представления (подробнее см. Индуцированное представление # Свойства ).

На языке теории модулей соответствующее присоединение является примером более общего связь между ограничением и расширением скаляров.

Смотрите также

Видеть Ограниченное представительство и Индуцированное представление для определений процессов, к которым применима эта теорема.
Видеть Теория представлений конечных групп для широкого обзора предмета групповых представлений.
Видеть Формула следа Сельберга и Формула следа Артура-Сельберга для обобщений на дискретные кофинитные подгруппы некоторых локально компактных групп.

Примечания

^ Серр 1977, п. 56.
^ Сенгупта 2012, п. 246.
^ В частности, есть изоморфизм категорий между K[грамм] -Mod и Представитель_грамм^K, как описано на страницах Изоморфизм категорий # Категория представлений и Теория представлений конечных групп # Представления, модули и алгебра свертки.
^ Джеймс, Гордон Дуглас (1945–2001). Представления и персонажи групп. Либек, М. В. (Мартин В.) (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521003926. OCLC 52220683.
^ Сенгупта 2012, п. 245.
^ «Взаимность Фробениуса на planetmath.org». planetmath.org. Получено 2017-11-02.
^ «Взаимность Фробениуса в nLab». ncatlab.org. Получено 2017-11-02.