Двойственность Артина – Вердье - Artin–Verdier duality - Wikipedia

В математика, Двойственность Артина – Вердье это двойственность теорема для конструктивного абелева снопы над спектр кольца из алгебраические числа, представлен Майкл Артин и Жан-Луи Вердье  (1964 ), что обобщает Двойственность Тейт.

Это показывает, что насколько etale (или же плоский ) когомология обеспокоен, кольцо целых чисел в числовое поле ведет себя как 3-х мерный математический объект.

Заявление

Позволять Икс быть спектр из кольцо целых чисел в полностью воображаемый числовое поле K, и F а конструктивный эталь абелева связка на Икс. Тогда Йонеда спаривание

${ displaystyle H ^ {r} (X, F) times operatorname {Ext} ^ {3-r} (F, mathbb {G} _ {m}) to H ^ {3} (X, mathbb {G} _ {m}) = mathbb {Q} / mathbb {Z}}$

это невырожденное спаривание конечных абелевых групп для любого целого р.

Здесь, ЧАС^р(X, F) это р-го этальные когомологии группа схема Икс со значениями в F, и Ext^р(F, G) - группа р-расширения эталонной связки грамм эталонной связкой F в категория этальных абелевых пучков на ИКС. Более того, грамм_м обозначает этальный пучок единицы в структурная связка из ИКС.

Кристофер Денингер  (1986 ) доказал двойственность Артина – Вердье для конструктивных, но не обязательно торсионных пучков. Для такой связки F, указанное выше спаривание индуцирует изоморфизмы

${ displaystyle { begin {align} H ^ {r} (X, F) ^ {*} & cong operatorname {Ext} ^ {3-r} (F, mathbb {G} _ {m}) && r = 0,1 H ^ {r} (X, F) & cong operatorname {Ext} ^ {3-r} (F, mathbb {G} _ {m}) ^ {*} && r = 2,3 конец {выровнено}}}$

куда

${ displaystyle (-) ^ {*} = operatorname {Hom} (-, mathbb {Q} / mathbb {Z}).}$

Конечные плоские групповые схемы

Позволять U - открытая подсхема спектра кольца целых чисел в числовом поле K, и F конечная плоская коммутативная групповая схема над U. Тогда чашка продукта определяет невырожденное спаривание

${ displaystyle H ^ {r} (U, F ^ {D}) times H_ {c} ^ {3-r} (U, F) to H_ {c} ^ {3} (U, { mathbb {G}} _ {m}) = mathbb {Q} / mathbb {Z}}$

конечных абелевых групп для всех целых чисел р.

Здесь F^D обозначает Картье двойной из F, которая является еще одной конечной плоской коммутативной групповой схемой над U. Более того, ${ displaystyle H ^ {r} (U, F)}$ это р-го плоские когомологии группа схемы U со значениями в плоском абелевом пучке F, и ${ displaystyle H_ {c} ^ {r} (U, F)}$ это р-го плоские когомологии с компактными носителями из U со значениями в плоском абелевом пучке Ф.

В плоские когомологии с компактными носителями определяется, чтобы дать начало длинной точной последовательности

${ displaystyle cdots to H_ {c} ^ {r} (U, F) to H ^ {r} (U, F) to bigoplus nolimits _ {v notin U} H ^ {r} (K_ {v}, F) to H_ {c} ^ {r + 1} (U, F) to cdots}$

Сумма берется по всем места из K, которых нет в U, в том числе архимедовы. Местный вклад ЧАС^р(K_v, F) это Когомологии Галуа из Хенселизация K_v из K на месте v, модифицированный а-ля Тейт:

${ displaystyle H ^ {r} (K_ {v}, F) = H_ {T} ^ {r} ( mathrm {Gal} (K_ {v} ^ {s} / K_ {v}), F (K_ {v} ^ {s})).}$

Здесь ${ displaystyle K_ {v} ^ {s}}$ является разделимым замыканием ${ displaystyle K_ {v}.}$

Рекомендации

• Артин, Майкл; Вердье, Жан-Луи (1964), "Семинар по этальным когомологиям числовых полей", Конспекты лекций подготовлены в связи с проведенными в летнем институте семинарами по алгебраической геометрии. Поместье Уитни, Вудс-Хоул, Массачусетс. 6 - 31 июля 1964 г. (PDF), Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, заархивировано из оригинал (PDF) на 2011-05-26
• Денингер, Кристофер (1986), «Расширение двойственности Артина-Вердье на неонторсионные пучки», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 366: 18–31, Дои:10.1515 / crll.1986.366.18, МИСТЕР  0833011
• Мазур, Барри (1973), «Заметки об этальных когомологиях числовых полей», Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 6: 521–552, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0344254
• Милн, Джеймс С. (2006), Арифметические теоремы двойственности (Второе изд.), БукСурдж, ООО, стр. viii + 339, ISBN  1-4196-4274-X