Группа когомологий Тейта - Tate cohomology group

В математика, Группы когомологий Тейта представляют собой слегка измененную форму обычного группы когомологий конечной группы, объединяющей группы гомологий и когомологий в одну последовательность. Их представил Джон Тейт (1952, п. 297), и используются в теория поля классов.

Определение

Если грамм это конечная группа и А а грамм-модуль, то существует естественное отображение N из ${displaystyle H_ {0} (G, A)}$ к ${displaystyle H ^ {0} (G, A)}$ принимая представителя а к ${displaystyle sum _ {gin G} ga}$ (сумма по всем грамм-конъюгаты а). В Группы когомологий Тейта ${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, A)}$ определены

${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, A) = H ^ {n} (G, A)}$ за ${displaystyle ngeq 1}$ ,
${displaystyle {hat {H}} ^ {0} (G, A) = имя оператора {coker} N =}$ частное от ${displaystyle H ^ {0} (G, A)}$ по нормам элементов А,
${displaystyle {hat {H}} ^ {- 1} (G, A) = ker N =}$ частное от нормы 0 элементов А по основным элементам А,
${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, A) = H _ {- (n + 1)} (G, A)}$ за ${displaystyle nleq -2}$ .

Характеристики

Если

{displaystyle 0longrightarrow Alongrightarrow Blongrightarrow Clongrightarrow 0}

это короткая точная последовательность грамм-модулей, то мы получаем обычную длинную точную последовательность групп когомологий Тейта:

{displaystyle cdots longrightarrow {hat {H}} ^ {n} (G, A) longrightarrow {hat {H}} ^ {n} (G, B) longrightarrow {hat {H}} ^ {n} (G, C ) longrightarrow {шляпа {H}} ^ {n + 1} (G, A) longrightarrow {шляпа {H}} ^ {n + 1} (G, B) cdots}

Если А индуцированный грамм модуля, то все группы когомологий Тейта А исчезнуть.

Нулевая группа когомологий Тейта А является

(Фиксированные точки грамм на А) / (Очевидные неподвижные точки грамм действующий на А)

где под "очевидной" неподвижной точкой мы понимаем точки вида ${displaystyle sum ga}$ . Другими словами, группа нулевых когомологий в некотором смысле описывает неочевидные неподвижные точки грамм действующий на А.

Группы когомологий Тейта характеризуются тремя вышеуказанными свойствами.

Теорема Тэйта

Теорема Тэйта (Тейт 1952 г. ) дает условия, при которых умножение на класс когомологий является изоморфизмом между группами когомологий. Есть несколько немного разных его версий; версия, которая особенно удобна для теория поля классов как следует:

Предположим, что А является модулем над конечной группой грамм и а является элементом ${displaystyle H ^ {2} (G, A)}$ , такое, что для каждой подгруппы E из грамм

${displaystyle H ^ {1} (E, A)}$ тривиально, и
${displaystyle H ^ {2} (E, A)}$ генерируется ${displaystyle operatorname {Res} (a)}$ , который имеет порядок E. Затем залить продукт в чашку а это изоморфизм
${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, mathbb {Z}) longrightarrow {hat {H}} ^ {n + 2} (G, A)}$

для всех п; другими словами, градуированные когомологии Тейта А изоморфна когомологиям Тейта с целыми коэффициентами со сдвигом степени на 2.

Когомологии Тейт-Фаррелла

Ф. Томас Фаррелл расширенные группы когомологий Тейта на случай всех групп грамм конечных виртуальная когомологическая размерность. В теории Фаррелла группы ${displaystyle {hat {H}} ^ {n} (G, A)}$ изоморфны обычным группам когомологий всякий раз, когда п больше виртуальной когомологической размерности группы грамм. Конечные группы имеют виртуальную когомологическую размерность 0, и в этом случае группы когомологий Фаррелла такие же, как у Тейта.

Группа когомологий Тейта - Tate cohomology group

Содержание

Определение

Характеристики

Теорема Тэйта

Когомологии Тейт-Фаррелла

Смотрите также

Рекомендации