Статистическая сумма Костанта - Kostant partition function

В теория представлений, раздел математики, Статистическая сумма Костанта, представлен Бертрам Костант  (1958, 1959 ), из корневая система ${ displaystyle Delta}$ - количество способов, которыми можно представить вектор (масса ) как неотрицательную целочисленную линейную комбинацию положительные корни ${ Displaystyle Delta ^ {+} subset Delta}$. Костант использовал его, чтобы переписать Формула характера Вейля как формула ( Формула кратности Костанта) для множественность веса неприводимое представление из полупростая алгебра Ли. Альтернативная формула, которая в некоторых случаях более эффективна с точки зрения вычислений, - это Формула Фрейденталя.

Статистическая сумма Костанта также может быть определена для Алгебры Каца – Муди и имеет аналогичные свойства.

Пример

Статистическая сумма Костанта для корневой системы A2

Рассмотрим корневую систему A2 с положительными корнями ${ displaystyle alpha _ {1}}$, ${ displaystyle alpha _ {2}}$, и ${ displaystyle alpha _ {3}: = alpha _ {1} + alpha _ {2}}$. Если элемент ${ displaystyle mu}$ может быть выражена как неотрицательная целочисленная линейная комбинация ${ displaystyle alpha _ {1}}$, ${ displaystyle alpha _ {2}}$, и ${ displaystyle alpha _ {3}}$, то поскольку ${ Displaystyle альфа _ {3} = альфа _ {1} + альфа _ {2}}$, его также можно выразить как неотрицательную целочисленную линейную комбинацию ${ displaystyle alpha _ {1}}$ и ${ displaystyle alpha _ {2}}$:

${ displaystyle mu = n_ {1} alpha _ {1} + n_ {2} alpha _ {2}}$

с ${ displaystyle n_ {1}}$ и ${ displaystyle n_ {2}}$ неотрицательные целые числа. Это выражение дает один способ писать ${ displaystyle mu}$ как неотрицательное целое сочетание положительных корней; другие выражения можно получить, заменив ${ displaystyle alpha _ {1} + alpha _ {2}}$ с ${ displaystyle alpha _ {3}}$ некоторое количество раз. Мы можем сделать замену ${ displaystyle k}$ раз, где ${ Displaystyle 0 Leq К Leq mathrm {min} (п_ ​​{1}, п_ {2})}$. Таким образом, если обозначить статистическую сумму Костанта через ${ displaystyle p}$, получаем формулу

${ displaystyle p (n_ {1} alpha _ {1} + n_ {2} alpha _ {2}) = 1+ mathrm {min} (n_ {1}, n_ {2})}$.

Этот результат графически показан на изображении справа. Если элемент ${ displaystyle mu}$ не в форме ${ displaystyle mu = n_ {1} alpha _ {1} + n_ {2} alpha _ {2}}$, тогда ${ Displaystyle р ( му) = 0}$.

Связь с формулой характера Вейля

Обращение знаменателя Вейля

Для каждого корня ${ displaystyle alpha}$ и каждый ${ displaystyle H in { mathfrak {h}}}$, мы можем формально примените формулу для суммы геометрического ряда, чтобы получить

${ displaystyle { frac {1} {1-e ^ {- alpha (H)}}} = 1 + e ^ {- alpha (H)} + e ^ {- 2 alpha (H)} + cdots}$

где нас не волнует сходимость, то есть равенство понимается на уровне формальных степенных рядов. С помощью Формула знаменателя Вейля

${ Displaystyle { сумма _ {вес in W} (- 1) ^ { ell (w)} e ^ {w cdot rho (H)} = e ^ { rho (H)} prod _ { alpha> 0} (1-e ^ {- alpha (H)})},}$

получаем формальное выражение для обратной величины знаменателя Вейля:^[1]

${ Displaystyle { begin {align} { frac {1} { sum _ {w in W} (- 1) ^ { ell (w)} e ^ {w cdot rho (H)}} } & {} = e ^ {- rho (H)} prod _ { alpha> 0} (1 + e ^ {- alpha (H)} + e ^ {- 2 alpha (H)} + e ^ {- 3 alpha (H)} + cdots) & {} = e ^ {- rho (H)} sum _ { mu} p ( mu) e ^ {- mu ( H)} end {выровнен}}}$

Здесь первое равенство заключается в произведении произведения на положительные корни формулы геометрического ряда, а второе равенство заключается в подсчете всех способов данной экспоненциальной ${ Displaystyle е ^ { му (Ч)}}$ может произойти в продукте.

Переписываем формулу символа

Этот аргумент показывает, что мы можем преобразовать Формула характера Вейля для неприводимого представления со старшим весом ${ displaystyle lambda}$:

${ Displaystyle OperatorName {ч} (В) = { сумма _ {ш в W} (- 1) ^ { ell (ш)} е ^ {ш CDOT ( лямбда + ро) (Н) } over sum _ {w in W} (- 1) ^ { ell (w)} e ^ {w cdot rho (H)}}}$

от частного к продукту:

${ displaystyle operatorname {ch} (V) = left ( sum _ {w in W} (- 1) ^ { ell (w)} e ^ {w cdot ( lambda + rho) ( H)} right) left (e ^ {- rho (H)} sum _ { mu} p ( mu) e ^ {- mu (H)} right).}$

Формула кратности

Используя предыдущую переписывание формулы символа, относительно легко записать символ как сумму экспонент. Коэффициенты этих экспонент - кратности соответствующих весов. Таким образом, мы получаем формулу для кратности данного веса ${ displaystyle mu}$ в неприводимом представлении со старшим весом ${ displaystyle lambda}$:^[2]

${ displaystyle mathrm {mult} ( mu) = sum _ {w in W} (- 1) ^ { ell (w)} p (w cdot ( lambda + rho) - ( mu + rho))}$.

Это результат Формула кратности Костанта.

Доминирующий член в этой формуле - член ${ displaystyle w = 1}$; вклад этого члена ${ Displaystyle р ( лямбда - му)}$, что представляет собой кратность ${ displaystyle mu}$ в Модуль Верма с наибольшим весом ${ displaystyle lambda}$. Если ${ displaystyle lambda}$ находится достаточно далеко внутри основной камеры Вейля и ${ displaystyle mu}$ достаточно близко к ${ displaystyle lambda}$, может случиться так, что все остальные члены формулы равны нулю. В частности, если ${ Displaystyle ш cdot ( лямбда + rho)}$ выше чем ${ displaystyle mu + rho}$, значение статистической суммы Костанта на ${ Displaystyle ш CDOT ( лямбда + ро) - ( му + ро)}$ будет ноль. Таким образом, хотя сумма номинально рассчитывается по всей группе Вейля, в большинстве случаев количество ненулевых членов меньше, чем порядок группы Вейля.

Рекомендации

Источники