Тройное произведение Якоби - Jacobi triple product

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Май 2018) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то Тройное произведение Якоби математическое тождество:

${ displaystyle prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-x ^ {2m} right) left (1 + x ^ {2m-1} y ^ {2} right) left (1 + { frac {x ^ {2m-1}} {y ^ {2}}} right) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} x ^ {n ^ {2 }} y ^ {2n},}$

для комплексных чисел Икс и у, с |Икс| <1 и у ≠ 0.

Он был представлен Якоби  (1829 ) в своей работе Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.

Тождество тройного произведения Якоби - это Личность Макдональда для аффинной корневой системы типа А₁, и является Формула знаменателя Вейля для соответствующего аффинного Алгебра Каца – Муди.

Характеристики

В основе доказательства Якоби лежит теория Эйлера. теорема о пятиугольных числах, который сам по себе является частным случаем идентичности тройного продукта Якоби.

Позволять ${ displaystyle x = q { sqrt {q}}}$ и ${ displaystyle y ^ {2} = - { sqrt {q}}}$. Тогда у нас есть

${ displaystyle phi (q) = prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-q ^ {m} right) = sum _ {n = - infty} ^ { infty } (- 1) ^ {n} q ^ { frac {3n ^ {2} -n} {2}}.}$

Тройное произведение Якоби также позволяет тета-функция быть записано как бесконечное произведение следующим образом:

Позволять ${ Displaystyle х = е ^ {я пи тау}}$ и ${ displaystyle y = e ^ {i pi z}.}$

Тогда тета-функция Якоби

${ displaystyle vartheta (z; tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ { pi { rm {i}} n ^ {2} tau +2 pi { rm {i}} nz}}$

можно записать в виде

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} y ^ {2n} x ^ {n ^ {2}}.}$

Используя идентичность тройного продукта Якоби, мы можем записать тета-функцию как произведение

${ displaystyle vartheta (z; tau) = prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-e ^ {2m pi { rm {i}} tau} right) left [1 + e ^ {(2m-1) pi { rm {i}} tau +2 pi { rm {i}} z} right] left [1 + e ^ {(2m- 1) pi { rm {i}} tau -2 pi { rm {i}} z} right].}$

Есть много разных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Он принимает краткую форму, когда выражается в терминах q-Почхаммер символы:

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ { frac {n (n + 1)} {2}} z ^ {n} = (q; q) _ { infty } ; left (- { tfrac {1} {z}}; q right) _ { infty} ; (- zq; q) _ { infty},}$

куда ${ Displaystyle (а; д) _ { infty}}$ это бесконечный q-Почхаммер символ.

Он имеет особенно элегантную форму, когда выражается в терминах Рамануджан тета-функция. За ${ displaystyle | ab | <1}$ это можно записать как

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} a ^ { frac {n (n + 1)} {2}} ; b ^ { frac {n (n-1)} {2}} = (- a; ab) _ { infty} ; (- b; ab) _ { infty} ; (ab; ab) _ { infty}.}$

Доказательство

Позволять ${ displaystyle f_ {x} (y) = prod _ {m = 1} ^ { infty} (1-x ^ {2m}) (1 + x ^ {2m-1} y ^ {2}) ( 1 + x ^ {2m-1} y ^ {- 2})}$ тогда ${ displaystyle f_ {x} (xy) = { frac {1 + x ^ {- 1} y ^ {- 2}} {1 + xy ^ {2}}} f_ {x} (y) = x ^ {-1} y ^ {- 2} f_ {x} (y)}$. С ж_Икс мероморфен для | y | > 0 у него есть серия Лорана ${ displaystyle f_ {x} (y) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} c_ {n} (x) y ^ {2n}}$ что удовлетворяет ${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} c_ {n} (x) x ^ {2n + 1} y ^ {2n} = xf_ {x} (xy) = y ^ {- 2} f_ {x} (y) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} c_ {n + 1} (x) y ^ {2n}}$ так что ${ displaystyle c_ {n + 1} (x) = c_ {n} (x) x ^ {2n + 1} = c_ {0} (x) x ^ {(n + 1) ^ {2}}}$ и поэтому

${ displaystyle f_ {x} (y) = c_ {0} (x) sum _ {n = - infty} ^ { infty} x ^ {n ^ {2}} y ^ {2n}}$

Оценка ${ Displaystyle c_ {0} (х)}$ более технический, один из способов - установить у = 1 и покажите числитель и знаменатель ${ displaystyle { frac {1} {c_ {0} (e ^ {2i pi z})}} = { frac { sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {2i pi n ^ {2} z}} { prod _ {m = 1} ^ { infty} (1-e ^ {2i pi mz}) (1 + e ^ {2i pi (2m-1) z}) ^ {2}}}}$ вес 1/2 модульный под ${ displaystyle z mapsto { frac {-1} {4z}}}$, поскольку они также 1-периодичны и ограничены в верхней полуплоскости, фактор должен быть постоянным, чтобы ${ displaystyle c_ {0} (x) = c_ {0} (0) = 1}$.

Простое доказательство дает Г. Эндрюс на основе двух тождеств Эйлера.^[1] Для аналитического случая см. Апостол, первое издание которого было опубликовано в 1976 году. Также см. Ссылки ниже, где приведено доказательство, мотивированное физикой, благодаря Борчердсу.^{[нужна цитата ]}.

Рекомендации

• См. Главу 14, теорему 14.6. Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001
• Питер Дж. Кэмерон, Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы, (1994) Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-45761-0
• Якоби, К. Г. Дж. (1829 г.), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг: Borntraeger, ISBN  978-1-108-05200-9, Перепечатано Издательство Кембриджского университета 2012
• Карлитц, L (1962), Заметка о тета-формуле Якоби, Американское математическое общество
• Райт, Э. М. (1965), "Перечислительное доказательство тождества Якоби", Журнал Лондонского математического общества, Лондонское математическое общество: 55–57, Дои:10.1112 / jlms / s1-40.1.55

внешняя ссылка