Ограничение Вейля - Weil restriction

В математика, ограничение скаляров (также известное как «ограничение Вейля») является функтор который для любого конечного расширение из поля Л / к и любой алгебраическое многообразие Икс над L, производит еще один сорт Res_L/kИкс, определенная на k. Это полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.

Определение

Позволять Л / к - конечное расширение полей, а Икс разнообразие, определяемое по L. Функтор ${ displaystyle operatorname {Res} _ {L / k} X}$ от k-схемы^op к множествам определяется

{ displaystyle operatorname {Res} _ {L / k} X (S) = X (S times _ {k} L)}

(В частности, k-рациональные точки ${ displaystyle operatorname {Res} _ {L / k} X}$ являются L-рациональные точки Икс.) Разнообразие, которое представляет собой этот функтор называется ограничением скаляров и уникален с точностью до единственного изоморфизма, если он существует.

С точки зрения снопы наборов, ограничение скаляров - это лишь толчок к морфизму ${ displaystyle operatorname {Spec} (L) to operatorname {Spec} (k)}$ и является правый смежный к волокнистое изделие схем, поэтому приведенное выше определение можно перефразировать в гораздо более общем виде. В частности, можно заменить расширение полей любым морфизмом окольцованных Topoi, а гипотезы о Икс может быть ослаблен, например, до стеки. Это происходит за счет меньшего контроля над поведением ограничения скаляров.

Свойства

Для любого конечного расширения полей ограничение скаляров переводит квазипроективные многообразия в квазипроективные многообразия. Размерность получившегося разнообразия умножается на степень расширения.

При соответствующих гипотезах (например, плоских, собственных, конечно представленных) любой морфизм ${ displaystyle T to S}$ из алгебраические пространства дает ограничение функтора скаляров, которое принимает алгебраические стеки в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как Артин, Делин-Мамфорд и представимость.

Примеры и приложения

1) Пусть L быть конечным расширением k степени s. потом ${ displaystyle operatorname {Res} _ {L / k} ( operatorname {Spec} (L)) = operatorname {Spec} (k)}$ и ${ displaystyle operatorname {Res} _ {L / k} mathbb {A} ^ {1}}$ является s-мерное аффинное пространство ${ displaystyle mathbb {A} ^ {s}}$ по спецификации k.

2) Если Икс аффинный L-многообразие, определяемое

{ displaystyle X = operatorname {Spec} L [x_ {1}, dots, x_ {n}] / (f_ {1}, dots, f_ {m})}

мы можем написать ${ displaystyle operatorname {Res} _ {L / k} X}$ как Spec ${ Displaystyle к [y_ {я, j}] / (g_ {l, r})}$ , где y_{я, j} ( ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п, 1 Leq j Leq s}$ ) - новые переменные, а г_{л, г} ( ${ Displaystyle 1 Leq L Leq м, 1 Leq r Leq S}$ ) - многочлены от ${ displaystyle y_ {i, j}}$ дан, взяв k-основа ${ displaystyle e_ {1}, dots, e_ {s}}$ из L и установка ${ displaystyle x_ {i} = y_ {i, 1} e_ {1} + dots + y_ {i, s} e_ {s}}$ и ${ displaystyle f_ {t} = g_ {t, 1} e_ {1} + dots + g_ {t, s} e_ {s}}$ .

3) Ограничение скаляров над конечным расширением полей принимает групповые схемы группировать схемы.

Особенно:

4) Тор

{ displaystyle mathbb {S}: = operatorname {Res} _ { mathbb {C} / mathbb {R}} mathbb {G} _ {m}}

где ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ обозначает мультипликативную группу, играет важную роль в теории Ходжа, поскольку Категория таннакиана настоящих Структуры Ходжа эквивалентна категории представлений ${ displaystyle mathbb {S}.}$ Реальные точки имеют Группа Ли структура изоморфна ${ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}$ . Увидеть Группа Мамфорда – Тейта.

5) Ограничение Вейля ${ displaystyle operatorname {Res} _ {L / k} mathbb {G}}$ (коммутативного) группового многообразия ${ Displaystyle mathbb {G}}$ снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности ${ displaystyle [L: k] dim mathbb {G},}$ если L отделим над k. Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с ${ Displaystyle к = mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle L = mathbb {C}}$ с целью получения новых результатов в теории трансцендентности, основанных на увеличении алгебраической размерности.

6) Ограничение скаляров на абелевы разновидности (например. эллиптические кривые ) дает абелевы многообразия, если L отделим над k. Джеймс Милн использовал это, чтобы уменьшить Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера для абелевых разновидностей во всем числовые поля к той же гипотезе о рациональных числах.

7) В криптография на основе эллиптических кривых, то Спуск Вейля атака использует ограничение Вейля для преобразования задача дискретного логарифмирования на эллиптическая кривая над конечным полем расширения L / K, в дискретную лог-задачу на Якобиева многообразие из гиперэллиптическая кривая над базовым полем K, что потенциально легче решить из-за меньшего размера K.

Ограничения Вейля и преобразования Гринберга

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо Векторы Витта на коммутативной алгебре А в целом не А-алгебра.

использованная литература

Первоначальная ссылка - это Раздел 1.3 Лекций Вейля 1959-1960 годов, опубликованный как:

Андре Вайль. «Адели и алгебраические группы», Успехи в математике. 23, Birkhäuser 1982. Записи лекций, прочитанных в 1959-1960 гг.

Другие ссылки:

Зигфрид Бош, Вернер Люткебомерт, Мишель Рейно. "Модели Néron", Springer-Verlag, Берлин 1990.
Джеймс С. Милн. «Об арифметике абелевых многообразий», Инвент. Математика. 17 (1972) 177-190.
Мартин Олссон. «Стеки Hom и ограничение скаляров», Duke Math J., 134 (2006), 139–164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
Бьорн Пунен. «Рациональные моменты по разновидностям», http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
Найджел Смарт, Спусковая страница Вейля с библиографией, https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html
Александр Момот, "Плотность рациональных точек на коммутативных групповых многообразиях и малая степень трансцендентности", https://arxiv.org/abs/1011.3368