Векторное обозначение - Vector notation

Векторное обозначение
	Векторная стрелка; Указывая от А к B ; Компоненты вектора; Описание вектора стрелки v по его координатам Икс и у дает изоморфизм векторных пространств. ;
	Скалярное произведение; Две одинаковые последовательности векторов координат и возвращает одно число ; Векторный продукт; Кросс-произведение относительно правой системы координат ;

Векторное обозначение обычно используется математическая запись для работы с математическими векторами,^[1]^[2] который может быть геометрические векторы или члены из векторные пространства.

Для представления вектора общий типографское соглашение нижний регистр, прямой жирный шрифт, как в $ты$ , $v$ и $ш$ .^[3] В Международная организация по стандартизации (ISO) рекомендует полужирный курсив с засечками, как в $v$ или $а$ , или полужирный курсив с засечками, подчеркнутый стрелкой вправо, как в ${displaystyle {vec {v}}}$ или ${displaystyle {vec {a}}}$ .^[4] Это обозначение стрелок для векторов обычно используется в почерке, где полужирный шрифт нецелесообразен. Стрелка представляет обозначение стрелкой вправо или гарпуны. Стенографические обозначения включают тильды и прямые линии размещаются соответственно ниже или выше имени вектора.

В высшей математике векторы часто представлены простым курсивом, как и любые другие. переменная.

История

Концепция вектор был придуман В. Р. Гамильтон около 1843 г., как он показал кватернионы, система, которая использует векторы и скаляры для покрытия четырехмерного пространства. Для кватерниона q = а + бя + cj + dk, Гамильтон использовал две проекции: S q = а, для скалярной части q, и V q = бя + cj + dk, векторная часть. Используя современные термины перекрестное произведение (×) и скалярное произведение (.), кватернионный продукт двух векторов п и q можно написать pq = –п.q + п×q. В 1878 г. В. К. Клиффорд разделил два продукта, чтобы сделать операцию кватерниона полезной для студентов в своем учебнике Элементы динамического. Читает лекции на Йельский университет, Джозайя Уиллард Гиббс предоставленные обозначения для скалярное произведение и векторные продукты, который был введен в Векторный анализ.^[5]

В 1891 г. Оливер Хевисайд выступал за Clarendon отличать векторы от скаляров. Он критиковал использование Греческие буквы Тэйтом и Готические буквы пользователя Максвелл.^[6]

В 1912 году Дж. Б. Шоу опубликовал свою «Сравнительную нотацию векторных выражений» Бюллетень из Общество Кватерниона.^[7] Впоследствии Александр Макфарлейн описали 15 критериев четкой экспрессии с векторами в той же публикации.^[8]

Векторные идеи были продвинуты Герман Грассманн в 1841 г., а затем в 1862 г. немецкий язык. Но немецких математиков не так увлекали кватернионы, как англоязычных математиков. Когда Феликс Кляйн организовывал Немецкая математическая энциклопедия, он назначил Арнольд Зоммерфельд стандартизировать векторные обозначения.^[9] В 1950 году, когда Академическая пресса опубликовал перевод Г. Куэрти второго издания 2-го тома Лекции по теоретической физике Зоммерфельда, векторные обозначения были предметом сноски: «В оригинальном немецком тексте векторы и их компоненты напечатаны теми же готическими шрифтами. Для этого перевода был принят более обычный способ проведения типографских различий между ними ".^[10]

Прямоугольные векторы

Прямоугольник

Прямоугольный кубоид

Прямоугольный вектор - это вектор координат определяется компонентами, которые определяют прямоугольник (или прямоугольная призма в трех измерениях и аналогичные формы в больших размерах). Начальная и конечная точки вектора лежат на противоположных концах прямоугольника (или призмы и т. Д.).

Обозначение упорядоченного множества

Прямоугольный вектор в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ можно указать с помощью заказанного набор компонентов, заключенных в круглые или угловые скобки.

В общем смысле п-мерный вектор v можно указать в любой из следующих форм:

${displaystyle mathbf {v} = (v_ {1}, v_ {2}, dots, v_ {n-1}, v_ {n})}$
${displaystyle mathbf {v} = langle v_ {1}, v_ {2}, dots, v_ {n-1}, v_ {n} angle}$

куда v₁, v₂, …, v_п − 1, v_п компоненты v.^[11]

Матричные обозначения

Прямоугольный вектор в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ также можно указать как строку или столбец матрица содержащий упорядоченный набор компонентов. Вектор, заданный как матрица-строка, известен как вектор строки; одна, указанная как матрица столбцов, известна как вектор столбца.

Опять же п-мерный вектор ${displaystyle mathbf {v}}$ могут быть указаны в любой из следующих форм с использованием матриц:

${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} v_ {1} & v_ {2} & cdots & v_ {n-1} & v_ {n} end {matrix}} ight] = left ({egin {matrix} v_ { 1} & v_ {2} & cdots & v_ {n-1} & v_ {n} end {matrix}} ight)}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} v_ {1} v_ {2} vdots v_ {n-1} v_ {n} end {matrix}} ight] = left ({egin { матрица} v_ {1} v_ {2} vdots v_ {n-1} v_ {n} end {matrix}} ight)}$

где v₁, v₂, …, v_п − 1, v_п компоненты v. В некоторых расширенных контекстах строка и вектор-столбец имеют разное значение; увидеть ковариация и контравариантность векторов для большего.

Обозначение единичного вектора

Прямоугольный вектор в ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ (или меньшее количество измерений, например ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ где v_z ниже равно нулю) может быть определена как сумма скалярных кратных компонентов вектора с членами стандартного основа в ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . Основа представлена единичные векторы ${displaystyle {oldsymbol {hat {imath}}} = (1,0,0)}$ , ${displaystyle {oldsymbol {hat {jmath}}} = (0,1,0)}$ , и ${displaystyle {oldsymbol {hat {k}}} = (0,0,1)}$ .

Трехмерный вектор ${displaystyle {oldsymbol {v}}}$ можно указать в следующей форме, используя обозначение единичного вектора:

${displaystyle mathbf {v} = v_ {x} {oldsymbol {hat {imath}}} + v_ {y} {oldsymbol {hat {jmath}}} + v_ {z} {oldsymbol {hat {k}}}}$

куда v_Икс, v_у, и v_z скалярные компоненты v. Скалярные компоненты могут быть положительными или отрицательными; абсолютное значение скалярной компоненты - это ее величина.

Полярные векторы

Точки в полярной системе координат с полюсом О и полярная ось L. Зеленым цветом обозначена точка с радиальной координатой 3 и угловой координатой 60 градусов или (3,60 °). Синим цветом обозначена точка (4210 °).

Два полярные координаты точки на плоскости можно рассматривать как двумерный вектор. Такой полярный вектор состоит из величина (или длина) и направление (или угол). Величина, обычно представляемая как р, - расстояние от начальной точки, происхождение, до точки, которая представлена. Угол, обычно представленный как θ (в Греческий письмо тета ) - угол, обычно измеряемый против часовой стрелки, между фиксированным направлением, как правило, положительным Икс-ось и направление от исходной точки к точке. Угол обычно уменьшается, чтобы он находился в пределах диапазона ${displaystyle 0leq heta <2pi}$ радианы или ${displaystyle 0leq heta <360 ^ {circ}}$ .

Следует подчеркнуть, что полярный вектор на самом деле не вектор, поскольку дополнение двух полярных векторов не определено.

Упорядоченные множества и матричные обозначения

Полярные векторы могут быть указаны с использованием либо нотации упорядоченных пар (подмножество нотации упорядоченного множества, использующей только два компонента), либо матричной нотации, как с прямоугольными векторами. В этих формах первая компонента вектора равна р (вместо того v₁), а второй компонент - θ (вместо того v₂). Чтобы отличать полярные векторы от прямоугольных векторов, угол может быть предварен символом угла, ${displaystyle angle}$ .

Двумерный полярный вектор v может быть представлен как любое из следующих, используя либо упорядоченную пару, либо матричную нотацию:

${displaystyle mathbf {v} = (r, угол heta)}$
${displaystyle mathbf {v} = langle r, angle heta angle}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} r & angle heta end {matrix}} ight]}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} r angle heta end {matrix}} ight]}$

где р это величина, θ - угол, а символ угла ( ${displaystyle angle}$ ) не является обязательным.

Прямая запись

Полярные векторы также можно указать с помощью упрощенных автономных уравнений, которые определяют р и θ явно. Это может быть громоздко, но полезно, чтобы избежать путаницы с двумерными прямоугольными векторами, которая возникает из-за использования упорядоченных пар или матричных обозначений.

Двумерный вектор с величиной 5 единиц и направлением π/ 9 радиан (20 °), можно указать в любой из следующих форм:

${displaystyle r = 5, heta = {pi over 9}}$
${displaystyle r = 5, heta = 20 ^ {circ}}$

Цилиндрические векторы

Цилиндрическая система координат с началом О, полярная ось А, а продольная ось L. Точка - это точка с радиальным расстоянием ρ = 4, угловая координата φ = 130 °, а высота z = 4.

Цилиндрический вектор - это расширение концепции полярных векторов до трех измерений. Это похоже на стрелку в цилиндрическая система координат. Цилиндрический вектор задается расстоянием в ху-плоскость, угол и расстояние от ху-самолет (высота). Первое расстояние, обычно представляемое как р или ρ (греческая буква ро ), - величина проекции вектора на ху-самолет. Угол, обычно представляемый как θ или φ (греческая буква фи ), измеряется как смещение от линии, коллинеарной Икс- ось в положительном направлении; угол обычно уменьшается, чтобы лежать в пределах диапазона ${displaystyle 0leq heta <2pi}$ . Второе расстояние, обычно представляемое как час или z, - расстояние от ху-плоскость до конечной точки вектора.

Упорядоченные множества и матричные обозначения

Цилиндрические векторы задаются как полярные векторы, где второй компонент расстояния равен соединенный в качестве третьего компонента для формирования упорядоченных триплетов (опять же, подмножества обозначений упорядоченного множества) и матриц. Угол может начинаться с символа угла ( ${displaystyle angle}$ ); комбинация расстояние-угол-расстояние отличает цилиндрические векторы в этой нотации от сферических векторов в аналогичной нотации.

Трехмерный цилиндрический вектор v может быть представлено как любое из следующих, используя либо упорядоченную тройку, либо матричную запись:

${displaystyle mathbf {v} = (r, угол heta, h)}$
${displaystyle mathbf {v} = langle r, angle heta, hangle}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} r & angle heta & hend {matrix}} ight]}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} r angle heta hend {matrix}} ight]}$

куда р величина проекции v на ху-самолет, θ угол между положительным Иксось и v, и час это высота от ху-самолет до конечной точки v. Опять же, символ угла ( ${displaystyle angle}$ ) не является обязательным.

Прямая запись

Цилиндрический вектор также можно задать напрямую, используя упрощенные автономные уравнения, которые определяют р (или ρ), θ (или φ), и час (или z). При выборе имен для переменных следует использовать последовательность; ρ не следует смешивать с θ и так далее.

Трехмерный вектор, величина проекции которого на ху-плоскость 5 единиц, угол которой от положительного Иксось π/ 9 радиан (20 °), и высота которого от ху-плоскость 3 единицы может быть указана в любой из следующих форм:

${displaystyle r = 5, heta = {pi over 9}, h = 3}$
${displaystyle r = 5, heta = 20 ^ {circ}, h = 3}$
${displaystyle ho = 5, phi = {pi over 9}, z = 3}$
${displaystyle ho = 5, phi = 20 ^ {circ}, z = 3}$

Сферические векторы

Сферические координаты (р, θ, φ) как часто используется в математика: радиальное расстояние р, азимутальный угол θ, и полярный угол φ. Значения θ и φ были заменены по сравнению с соглашением по физике.

Сферический вектор - это еще один метод расширения концепции полярных векторов до трех измерений. Это похоже на стрелку в сферическая система координат. Сферический вектор определяется величиной, азимутальным углом и зенитным углом. Величина обычно представлена как ρ. Азимутальный угол, обычно представленный как θ, это смещение (против часовой стрелки) от положительного Икс-ось. Зенитный угол, обычно представляемый как φ, это смещение от положительного z-ось. Оба угла обычно уменьшаются до диапазона от нуля (включительно) до 2.π (эксклюзив).

Упорядоченные множества и матричные обозначения

Сферические векторы задаются как полярные векторы, где зенитный угол объединяется в качестве третьего компонента для формирования упорядоченных триплетов и матриц. Азимутальный и зенитный углы могут иметь префикс символа угла ( ${displaystyle angle}$ ); префикс следует использовать последовательно для получения комбинации расстояние-угол-угол, которая отличает сферические векторы от цилиндрических.

Трехмерный сферический вектор v может быть представлен как любое из следующих, используя либо упорядоченную тройку, либо матричную запись:

${displaystyle mathbf {v} = (ho, angle heta, angle phi)}$
${displaystyle mathbf {v} = langle ho, angle heta, angle phi angle}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} ho & angle heta & angle phi end {matrix}} ight]}$
${displaystyle mathbf {v} = left [{egin {matrix} ho angle heta angle phi end {matrix}} ight]}$

куда ρ это величина, θ - азимутальный угол, а φ - зенитный угол.

Прямая запись

Подобно полярным и цилиндрическим векторам, сферические векторы могут быть заданы с помощью упрощенных автономных уравнений, в данном случае для ρ, θ, и φ.

Трехмерный вектор величиной 5 единиц и азимутальным углом π/ 9 радиан (20 °), зенитный угол которого равен π/ 4 радиана (45 °) можно указать как:

${displaystyle ho = 5, heta = {pi больше 9}, phi = {pi больше 4}}$
${displaystyle ho = 5, heta = 20 ^ {circ}, phi = 45 ^ {circ}}$

Операции

В любом случае векторное пространство, определены операции сложения векторов и скалярного умножения. Нормированные векторные пространства также определите операцию, известную как норма (или определение величины). Внутренние пространства продукта также определите операцию, известную как внутренний продукт. В ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ внутренний продукт известен как скалярное произведение. В ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ и ${displaystyle mathbb {R} ^ {7}}$ , дополнительная операция, известная как перекрестное произведение также определяется.

Сложение вектора

Сложение вектора представлен знаком плюс, используемым как оператор между двумя векторами. Сумма двух векторов ты и v будет представлен как:^[3]

{displaystyle mathbf {u} + mathbf {v}}

Скалярное умножение

Скалярное умножение представлен тем же способом, что и алгебраическое умножение. Скаляр рядом с вектором (один или оба из них могут быть в скобках) подразумевает скалярное умножение. Два общих оператора, точка и повернутый крест, также приемлемы (хотя повернутый крест почти никогда не используется), но они рискуют ошибиться с скалярными произведениями и перекрестными произведениями, которые работают с двумя векторами. Произведение скаляра k с вектором v может быть представлен в любой из следующих форм:

${displaystyle kmathbf {v}}$ ^[3]
${displaystyle kcdot mathbf {v}}$

Вычитание векторов и скалярное деление

Используя алгебраические свойства вычитания и деления, наряду со скалярным умножением, также можно «вычесть» два вектора и «разделить» вектор на скаляр.

Вычитание вектора выполняется путем добавления скалярного числа, кратного -1, со вторым векторным операндом к первому векторному операнду. Это можно представить с помощью знака минус в качестве оператора. Разница между двумя векторами ты и v может быть представлен одним из следующих способов:

${displaystyle mathbf {u} + -mathbf {v}}$
${displaystyle mathbf {u} -mathbf {v}}$ ^[3]

Скалярное деление выполняется путем умножения векторного операнда на числовое значение, обратное скалярному операнду. Это можно представить с помощью дробной черты или знаков деления в качестве операторов. Частное вектора v и скаляр c могут быть представлены в любой из следующих форм:

${displaystyle {1 вместо c} mathbf {v}}$
${displaystyle {mathbf {v} over c}}$
${displaystyle {mathbf {v} div c}}$

Норма

В норма вектора изображается двойными полосами по обе стороны от вектора. Норма вектора v можно представить как:^[3]

{displaystyle | mathbf {v} |}

Норма также иногда представлена отдельными полосами, например ${displaystyle | mathbf {v} |}$ , но это можно спутать с абсолютная величина (что является разновидностью нормы).

Внутренний продукт

В внутренний продукт двух векторов (также известных как скалярное произведение, не путать со скалярным умножением) представляется в виде упорядоченной пары, заключенной в угловые скобки. Внутреннее произведение двух векторов ты и v будет представлен как:^[3]

{displaystyle langle mathbf {u}, mathbf {v} angle}

Скалярное произведение

В ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ внутренний продукт также известен как скалярное произведение. В дополнение к стандартной нотации внутреннего произведения также может использоваться нотация скалярного произведения (с использованием точки в качестве оператора) (и это более распространено). Скалярное произведение двух векторов ты и v можно представить как:^[3]

{displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v}}

В некоторой старой литературе скалярное произведение подразумевается между двумя векторами, написанными бок о бок. Это обозначение можно спутать с диадический продукт между двумя векторами.

Перекрестное произведение

В перекрестное произведение двух векторов (в ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ ) представлен с помощью повернутого креста в качестве оператора. Перекрестное произведение двух векторов ты и v будет представлен как:^[3]

{displaystyle mathbf {u} imes mathbf {v}}

По некоторым соглашениям (например, во Франции и в некоторых областях высшей математики) это также обозначается клином,^[12] что позволяет избежать путаницы с клин поскольку они функционально эквивалентны в трех измерениях:

{displaystyle mathbf {u} клин mathbf {v}}

В некоторой старой литературе для перекрестного произведения между ты и v:

{displaystyle [mathbf {u}, mathbf {v}]}

Набла

Векторное обозначение используется с исчисление сквозь Набла оператор:

{displaystyle mathbf {i} {frac {partial} {partial x}} + mathbf {j} {frac {partial} {partial y}} + mathbf {k} {frac {partial} {partial z}}}

Со скалярной функцией ж, то градиент записывается как ${displaystyle abla f,}$

с векторным полем, F то расхождение записывается как ${displaystyle abla cdot F,}$

и с векторным полем, F то завиток записывается как ${displaystyle abla imes F.}$

Смотрите также

использованная литература

^ Принципы и приложения математики в коммуникационной электронике. 1992. стр. 123.
^ Гроб, Джозеф Джордж (1911). Векторный анализ. J. Wiley & sons.
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г ^час «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-19.
^ «ISO 80000-2: 2019 Величины и единицы - Часть 2: Математика». Международная организация по стандартизации. Август 2019.
^ Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ на основе лекций Дж. У. Гиббса в Интернет-архив
^ Оливер Хевисайд, Электрический журнал, Том 28. Джеймс Грей, 1891. 109 (альт )
^ Дж. Б. Шоу (1912) Сравнительное обозначение векторных выражений, Бюллетень из Общество Кватерниона через Хати Траст.
^ Александр Макфарлейн (1912) Система обозначений для векторного анализа; с обсуждением основополагающих принципов от Бюллетень Общества Кватерниона
^ Карин Райх (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung
^ Механика деформируемых тел., п. 10, в Google Книги
^ Вайсштейн, Эрик В. "Вектор". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-19.
^ Кахори, Флориан (2011). История математических обозначений. Dover Publications. п. 134 (Том 2). ISBN 9780486161167.

[1] Принципы и приложения математики в коммуникационной электронике. 1992. стр. 123.

[2] Гроб, Джозеф Джордж (1911). Векторный анализ. J. Wiley & sons.

[:0-3] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г ^час «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-19.

[4] «ISO 80000-2: 2019 Величины и единицы - Часть 2: Математика». Международная организация по стандартизации. Август 2019.

[5] Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ на основе лекций Дж. У. Гиббса в Интернет-архив

[6] Оливер Хевисайд, Электрический журнал, Том 28. Джеймс Грей, 1891. 109 (альт )

[7] Дж. Б. Шоу (1912) Сравнительное обозначение векторных выражений, Бюллетень из Общество Кватерниона через Хати Траст.

[8] Александр Макфарлейн (1912) Система обозначений для векторного анализа; с обсуждением основополагающих принципов от Бюллетень Общества Кватерниона

[9] Карин Райх (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung

[10] Механика деформируемых тел., п. 10, в Google Книги

[11] Вайсштейн, Эрик В. "Вектор". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-19.

[12] Кахори, Флориан (2011). История математических обозначений. Dover Publications. п. 134 (Том 2). ISBN 9780486161167.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Линейная алгебра
Базовые концепты	Скалярный Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Основа Смена основы Векторы строк и столбцов Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Ранг Трансформация Правило Крамера Гауссово исключение
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Детерминант Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное перекрестное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Мультивектор Тензор Внешний морфизм
Векторное пространство конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство Частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Подпрограммы базовой линейной алгебры (BLAS) Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория Контур Математический портал Викибук Викиверситет

Векторное обозначение
Векторная стрелка Указывая от А к B Компоненты вектора Описание вектора стрелки v по его координатам Икс и у дает изоморфизм векторных пространств.
Скалярное произведение Две одинаковые последовательности векторов координат и возвращает одно число Векторный продукт Кросс-произведение относительно правой системы координат