Универсальная теорема вложения - Universal embedding theorem

В универсальная теорема вложения, или же Универсальная теорема вложения Краснера – Калужнина., это теорема из математической дисциплины теория групп впервые опубликовано в 1951 г. Марк Краснер и Лев Калузнин.^[1] Теорема утверждает, что любой расширение группы группы ЧАС группой А изоморфна подгруппе регулярного венок А WrЧАС. Теорема названа в честь того, что группа А WrЧАС как говорят универсальный относительно всех расширений ЧАС к А.

Заявление

Позволять ЧАС и А быть группами, пусть K = А^ЧАС быть набором всех функций из ЧАС к А, и рассмотрим действие из ЧАС на себя правильным умножением. Это действие естественным образом распространяется на действие ЧАС на K определяется ${ Displaystyle phi (g) .h = phi (gh ^ {- 1}),}$ куда ${ displaystyle phi in K,}$ и грамм и час оба в ЧАС. Это автоморфизм K, поэтому мы можем определить полупрямое произведение K ⋊ ЧАС называется обычный венок, и обозначил А WrЧАС или же ${ Displaystyle A wr H.}$ Группа K = А^ЧАС (который изоморфен ${ displaystyle {(f_ {x}, 1) in A wr H: x in K }}$) называется базовая группа венка.

В Универсальная теорема вложения Краснера – Калужнина. заявляет, что если грамм имеет нормальная подгруппа А и ЧАС = грамм/А, тогда есть инъективный гомоморфизм групп ${ displaystyle theta: G to A wr H}$ такой, что А карты сюръективно на ${ displaystyle { text {im}} ( theta) cap K.}$^[2] Это эквивалентно сплетению А WrЧАС имеющий подгруппу, изоморфную грамм, куда грамм любое расширение ЧАС к А.

Доказательство

Это доказательство принадлежит Диксон-Мортимер.^[3]

Определить гомоморфизм ${ displaystyle psi: G to H}$ чье ядро А. Выбрать набор ${ displaystyle T = {t_ {u}: и в H }}$ из (правых) смежных представителей А в грамм, куда ${ displaystyle psi (t_ {u}) = u.}$ Тогда для всех Икс в грамм, ${ displaystyle t_ {u} xt_ {u psi (x)} ^ {- 1} in ker psi = A.}$ Для каждого Икс в грамм, мы определяем функцию ж_Икс: ЧАС → А такой, что ${ displaystyle f_ {x} (u) = t_ {u} xt_ {u psi (x)} ^ {- 1}.}$ Тогда вложение ${ displaystyle theta}$ дан кем-то ${ displaystyle theta (x) = (f_ {x}, psi (x)) in A wr H.}$

Теперь докажем, что это гомоморфизм. Если Икс и у находятся в грамм, тогда ${ displaystyle theta (x) theta (y) = (f_ {x} (f_ {y}. psi (x) ^ {- 1}), psi (xy)).}$ Сейчас же ${ displaystyle f_ {y} (u). psi (x) ^ {- 1} = f_ {y} (u ​​ psi (x)),}$ так для всех ты в ЧАС,

${ displaystyle f_ {x} (u) (f_ {y} (u). psi (x)) = t_ {u} xt_ {u psi (x)} ^ {- 1} t_ {u psi ( x)} yt_ {u psi (x) psi (y)} ^ {- 1} = t_ {u} xyt_ {u psi (xy)} ^ {- 1},}$

так ж_Икс ж_у = ж_ху. Следовательно ${ displaystyle theta}$ является требуемым гомоморфизмом.

Гомоморфизм инъективен. Если ${ Displaystyle тета (х) = тета (у),}$ тогда оба ж_Икс(ты) = ж_у(ты) (для всех ты) и ${ Displaystyle psi (x) = psi (y).}$ потом ${ displaystyle t_ {u} xt_ {u psi (x)} ^ {- 1} = t_ {u} yt_ {u psi (y)} ^ {- 1},}$ но мы можем отменить т_ты и ${ Displaystyle т_ {и пси (х)} ^ {- 1} = т_ {и пси (у)} ^ {- 1}}$ с обеих сторон, поэтому Икс = у, следовательно ${ displaystyle theta}$ инъективно. Ну наконец то, ${ Displaystyle тета (х) в К}$ именно когда ${ Displaystyle psi (х) = 1,}$ другими словами, когда ${ displaystyle x in A}$ (в качестве ${ Displaystyle A = ker psi}$).

Обобщения и связанные результаты

• В Теорема Крона – Родса - утверждение, подобное универсальной теореме вложения, но для полугруппы. Полугруппа S это делитель полугруппы Т если это изображение из подполугруппа из Т при гомоморфизме. Теорема утверждает, что каждая конечная полугруппа S является дивизором конечного знакопеременного сплетения конечных простые группы (каждый из которых является делителем S) и конечный апериодические полугруппы.
• Существует альтернативная версия теоремы, для которой требуется только группа грамм и подгруппа А (не обязательно нормально).^[4] В этом случае, грамм изоморфна подгруппе регулярного сплетения А Wr (грамм/Основной(А)).

Рекомендации

Библиография

• Диксон, Джон; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок. Springer. ISBN  978-0387945996.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Калужнин, Лев; Краснер, Марк (1951a). "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп II". Acta Sci. Математика. Сегед. 14: 39–66.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Калужнин, Лев; Краснер, Марк (1951b). "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп III". Acta Sci. Математика. Сегед. 14: 69–82.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Прегер, Шерил; Шнайдер, Чаба (2018). Группы перестановок и декартовы разложения. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521675062.