Теорема о трех геодезических - Theorem of the three geodesics

В дифференциальная геометрия то теорема трех геодезических заявляет, что каждый Риманово многообразие с топологией сфера имеет как минимум три закрытые геодезические эта форма простые замкнутые кривые (т.е. без самопересечений).[1][2] Результат также можно распространить на квазигеодезические на выпуклом многограннике.

История и доказательства

Трехосный эллипсоид и его три геодезические

А геодезический на римановой поверхности - это кривая, локально прямая в каждой своей точке. Например, на Евклидова плоскость геодезические линии, а на поверхности сферы геодезические большие круги. Кратчайший путь на поверхности между двумя точками всегда является геодезической, но могут существовать и другие геодезические. Геодезическая называется закрытая геодезическая если он возвращается в исходную точку и в начальное направление; при этом он может креститься несколько раз. Теорема о трех геодезических гласит, что для поверхностей гомеоморфный к сфере существует не менее трех замкнутых геодезических без самопересечения. Их может быть больше трех, например, сама сфера их бесконечно много.

Этот результат проистекает из математики океанской навигации, где поверхность Земли может быть точно смоделирована с помощью эллипсоид, и из изучения геодезические на эллипсоиде, кратчайшие пути для кораблей. В частности, почти сферический трехосный эллипсоид имеет только три простые замкнутые геодезические, свои экваторы.[3] В 1905 г. Анри Пуанкаре предположил, что каждая гладкая поверхность, топологически эквивалентная сфере, также содержит по крайней мере три простых замкнутых геодезических,[4] и в 1929 г. Лазарь Люстерник и Лев Шнирельманн опубликовал доказательство гипотезы, которое позже было признано ошибочным.[5]Доказательство было восстановлено Ганс Вернер Баллманн в 1978 г.[6]

Одно из доказательств этой гипотезы исследует гомология пространства гладких кривых на сфере и использует поток, сокращающий кривую найти простую замкнутую геодезическую, представляющую каждый из трех нетривиальных классов гомологии этого пространства.[2]

Обобщения

Усиленный вариант теоремы утверждает, что на любой римановой поверхности, которая топологически является сферой, обязательно существуют три простые замкнутые геодезические, длина которых не более чем пропорциональна диаметру поверхности.[7]

Количество замкнутых геодезических длиной не более L на гладкой топологической сфере растет пропорционально L/бревноL, но не все такие геодезические можно гарантировать простыми.[8]

На компактном гиперболический Римановы поверхности, существует бесконечно много простых замкнутых геодезических, но только конечное число с заданной границей длины. Они кодируются аналитически Дзета-функция Сельберга. Скорость роста числа простых замкнутых геодезических в зависимости от их длины была исследована Марьям Мирзахани.[9]

Негладкие метрики

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в информатике:
Есть ли алгоритм, который может найти простую замкнутую квазигеодезическую на выпуклом многограннике за полиномиальное время?
(больше нерешенных проблем в информатике)

Также возможно определить геодезические на некоторых поверхностях, которые не везде гладкие, например выпуклые многогранники. Поверхность выпуклого многогранника имеет метрику, которая является локально евклидовой, за исключением вершин многогранника, а кривая, которая избегает вершин, является геодезической, если она проходит по прямым отрезкам внутри каждой грани многогранника и остается прямой поперек каждого ребра многогранника. что он пересекает. Хотя некоторые многогранники имеют простые замкнутые геодезические (например, правильный тетраэдр и дисфеноиды есть бесконечно много замкнутых геодезических, все просто)[10][11] другие нет. В частности, простая замкнутая геодезическая выпуклого многогранника обязательно делит сумму пополам. угловой дефект вершин и почти все многогранники не имеют таких биссектрис.[3][10]

Тем не менее теорему о трех геодезических можно распространить на выпуклые многогранники, рассматривая квазигеодезические, кривые, геодезические за исключением вершин многогранников и имеющие углы меньше π с обеих сторон в каждой вершине они пересекаются. Версия теоремы о трех геодезических для выпуклых многогранников утверждает, что все многогранники имеют не менее трех простых замкнутых квазигеодезических; это можно доказать, аппроксимируя многогранник гладкой поверхностью и применяя к этой поверхности теорему о трех геодезических.[12] Это открытая проблема можно ли построить любую из этих квазигеодезических в полиномиальное время.[13][14]

Рекомендации

  1. ^ Клингенберг, Вильгельм (1985), «Существование трех коротких замкнутых геодезических», Дифференциальная геометрия и комплексный анализ, Springer, Berlin, стр. 169–179, МИСТЕР  0780043.
  2. ^ а б Грейсон, Мэтью А. (1989), «Укорачивание вложенных кривых» (PDF), Анналы математики, Вторая серия, 129 (1): 71–111, Дои:10.2307/1971486, JSTOR  1971486, МИСТЕР  0979601.
  3. ^ а б Гальперин, Г. (2003), «Выпуклые многогранники без простых замкнутых геодезических» (PDF), Регулярная и хаотическая динамика, 8 (1): 45–58, Bibcode:2003RCD ..... 8 ... 45G, Дои:10.1070 / RD2003v008n01ABEH000231, МИСТЕР  1963967.
  4. ^ Пуанкаре, Х. (1905), "Sur les lignes géodésiques des поверхность выпуклых" [Геодезические линии на выпуклых поверхностях], Труды Американского математического общества (На французском), 6 (3): 237–274, Дои:10.2307/1986219, JSTOR  1986219.
  5. ^ Люстерник, Л.; Шнирельманн, Л. (1929), "Sur le problème de trois géodésiques fermées sur les surface de genre 0" [Проблема трех замкнутых геодезических на поверхностях рода 0], Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (На французском), 189: 269–271.
  6. ^ Баллманн, Вернер (1978), "Der Satz von Lusternik und Schnirelmann", Математика. Shriften, 102: 1–25.
  7. ^ Лиокумович Евгений; Набутовский, Александр; Ротман, Регина (2014), Длины трех простых периодических геодезических на римановой 2-сфере, arXiv:1410.8456, Bibcode:2014arXiv1410.8456L.
  8. ^ Хингстон, Нэнси (1993), «О росте числа замкнутых геодезических на двумерной сфере», Уведомления о международных математических исследованиях, 1993 (9): 253–262, Дои:10.1155 / S1073792893000285, МИСТЕР  1240637.
  9. ^ Мирзахани, Марьям (2008), "Рост числа простых замкнутых геодезических на гиперболических поверхностях", Анналы математики, 168 (1): 97–125, Дои:10.4007 / анналы.2008.168.97, МИСТЕР  2415399, Zbl  1177.37036,
  10. ^ а б Фукс Дмитрий; Фукс, Екатерина (2007), «Замкнутые геодезические на правильных многогранниках» (PDF), Московский математический журнал, 7 (2): 265–279, 350, Дои:10.17323/1609-4514-2007-7-2-265-279, МИСТЕР  2337883.
  11. ^ Коттон, Эндрю; Фриман, Дэвид; Гнепп, Андрей; Нг, Тинг; Спивак, Джон; Йодер, Кара (2005), "Изопериметрическая проблема на некоторых особых поверхностях", Журнал Австралийского математического общества, 78 (2): 167–197, Дои:10.1017 / S1446788700008016, МИСТЕР  2141875.
  12. ^ Погорелов, А.В. (1949), «Квазигеодезические линии на выпуклой поверхности», Математический сборник, Н.С., 25 (67): 275–306, МИСТЕР  0031767.
  13. ^ Демейн, Эрик Д.; О'Рурк, Джозеф (2007), «24 геодезических: Люстерник – Шнирельманн», Алгоритмы геометрического складывания: Связи, оригами, многогранники, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 372–375, Дои:10.1017 / CBO9780511735172, ISBN  978-0-521-71522-5, МИСТЕР  2354878.
  14. ^ Ито, Джин-ичи; О'Рурк, Джозеф; Вилку, Костин (2010), "Звезда, раскрывающая выпуклые многогранники с помощью квазигеодезических петель", Дискретная и вычислительная геометрия, 44 (1): 35–54, arXiv:0707.4258, Дои:10.1007 / s00454-009-9223-х, МИСТЕР  2639817.