Пятьдесят девять икосаэдров - The Fifty-Nine Icosahedra

В звездчатая диаграмма для икосаэдра с центральным треугольником, отмеченным для исходного икосаэдра

Пятьдесят девять икосаэдров это книга, написанная и иллюстрированная Х. С. М. Коксетер, П. Дю Валь, Х. Т. Флатер и Дж. Ф. Петри. Он перечисляет некоторые звездчатые правильной выпуклой или платонической икосаэдр, в соответствии с набором правил, выдвинутых Дж. С. П. Миллер.

Впервые опубликовано Университетом Торонто в 1938 году, второе издание - переизданием Springer-Verlag в 1982 году. Третье издание Тарквина 1999 года включало новые справочные материалы и фотографии К. и Д. Креннелл.

Вклад авторов

Правила Миллера

Несмотря на то что Миллер не участвовал в написании книги напрямую, он был близким коллегой Кокстера и Петри. Его вклад увековечен в его своде правил для определения того, какие звездчатые формы следует считать «должным образом значимыми и отличными»:^[1]

(i) Грани должны лежать в двадцати плоскостях, а именно ограничивающих плоскостях правильного икосаэдра.

(ii) Все части, составляющие грани, должны быть одинаковыми в каждой плоскости, хотя они могут быть совершенно не соединены.

(iii) Части, входящие в любую плоскость, должны иметь тригональную симметрию, без отражения или с отражением. Это обеспечивает икосаэдрическую симметрию для всего твердого тела.

(iv) Все части, входящие в любую плоскость, должны быть «доступны» в готовом твердом теле (т.е. они должны быть «снаружи». В некоторых случаях нам могут потребоваться модели огромных размеров, чтобы видеть все снаружи. модель обычного размера, некоторые части «снаружи» могли исследовать только ползающее насекомое).

(v) Мы исключаем из рассмотрения случаи, когда части можно разделить на два набора, каждый из которых дает твердое тело с такой же симметрией, как и вся фигура. Но мы допускаем комбинацию энантиоморфной пары, не имеющей общей части (что на самом деле имеет место только в одном случае).

Правила (i) - (iii) являются требованиями симметрии для плоскостей лицевых поверхностей. Правило (iv) исключает заглубленные отверстия, чтобы две звездочки не выглядели внешне одинаковыми. Правило (v) предотвращает любое разъединенное соединение более простых звездчатых элементов.

Coxeter

Кокстер был главной движущей силой этой работы. Он провел исходный анализ, основанный на правилах Миллера, применив ряд методов, таких как комбинаторика и абстрактные теория графов использование которых в геометрическом контексте было тогда новым.

Он заметил, что звездчатая диаграмма состоит из множества отрезков прямых. Затем он разработал процедуры для манипулирования комбинациями соседних областей плоскости, чтобы формально перечислить комбинации, разрешенные в соответствии с правилами Миллера.

Его график, воспроизведенный здесь, показывает взаимосвязь различных лиц, обозначенных на звездчатой диаграмме (см. Ниже). Греческие символы представляют собой набор возможных альтернатив:

λ может быть 3 или 4

μ может быть 7 или 8

ν может быть 11 или 12

Du Val

Дю Валь разработал символическую нотацию для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основываясь на наблюдении, что они лежат в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра. На основании этого он проверил все возможные комбинации на соответствие правилам Миллера, подтвердив результат более аналитического подхода Кокстера.

Flather

Вклад Флэзера был косвенным: он сделал карточные модели всех 59. Когда он впервые встретил Кокстера, он уже сделал много звёздчатых фигур, в том числе некоторые «не-Миллеровские» образцы. Затем он завершил серию из пятидесяти девяти, которые хранятся в математической библиотеке Кембриджского университета, Англия. В библиотеке также есть несколько моделей, не принадлежащих Миллеру, но неизвестно, были ли они сделаны Флэтером или более поздними учениками Миллера.^[2]

Петри

Джон Флиндерс Петри был другом Кокстера на протяжении всей жизни и обладал замечательной способностью визуализировать четырехмерную геометрию. Он и Кокстер вместе работали над множеством математических задач. Его непосредственным вкладом в создание пятидесяти девяти икосаэдров был изысканный набор трехмерных рисунков, которые обеспечивают большую часть очарования опубликованной работы.

Креннеллы

Для третьего издания Кейт и Дэвид Креннелл сбросили текст и перерисовали диаграммы. Они также добавили справочный раздел, содержащий таблицы, диаграммы и фотографии некоторых моделей из Кембриджа (которые в то время считались принадлежащими Флэзеру). Исправления к этому изданию опубликованы в Интернете.^[3]

Список пятидесяти девяти икосаэдров

Звездчатая диаграмма с пронумерованными наборами граней

Диаграмма ячеек с обозначением Дюваля для ячеек

До Кокстера только Брюкнер и Уиллер зарегистрировали какие-либо значительные наборы звёздчатых образов, хотя некоторые из них, такие как большой икосаэдр, были известны дольше. С момента публикации 59Веннингер опубликовал инструкции по изготовлению моделей некоторых; Схема нумерации, используемая в его книге, получила широкое распространение, хотя он записал только несколько звездочек.

Примечания к списку

Номера индексов принадлежат Креннеллам, если не указано иное:

Crennell

В индексной нумерации, добавленной Креннеллами к третьему изданию, первые 32 формы (индексы 1-32) являются отражающий моделей, а последние 27 (индексы 33-59) - хиральный с указанием только правосторонних форм. Это соответствует порядку, в котором звездочки изображены в книге.

Клетки

В обозначениях Дюваля каждая оболочка выделена жирным шрифтом и направлена наружу, как а, б, c, ..., час с а являясь оригинальным икосаэдром. Некоторые оболочки подразделяются на клетки двух типов, например е включает е₁ и е₂. Набор ж₁ далее подразделяется на правую и левую формы соответственно f₁ (простой тип) и ж₁ (курсив). Если в звездчатой форме все ячейки присутствуют внутри внешней оболочки, внешняя оболочка пишется с заглавной буквы, а внутренняя опускается, например а + б + c + е₁ записывается как Ce₁.

Лица

Все звездчатые формы могут быть указаны звездчатая диаграмма. На диаграмме, показанной здесь, пронумерованные цвета указывают области звездчатой диаграммы, которые должны встречаться вместе как набор, если должна поддерживаться полная симметрия икосаэдра. На схеме 13 таких наборов. Некоторые из них подразделяются на хиральные пары (не показаны), что позволяет использовать звездообразные формы с вращательной, но не рефлексивной симметрией. В таблице лица, которые видны снизу, обозначены апострофом, например 3'.

Веннингер

Индексные номера и пронумерованные имена были произвольно распределены издателем Веннингера в соответствии с их появлением в его книге. Модели многогранников и не имеют отношения к какой-либо математической последовательности. Лишь некоторые из его моделей были икосаэдрами. Его имена даны в сокращенном виде, с опущенным словом «... икосаэдра».

Уиллер

Уиллер нашел свои фигуры, или «формы» икосаэдра, выбрав отрезки прямых на звездчатой диаграмме. Он тщательно отличал это от Кеплер классический звездчатость процесс. Coxeter et al. проигнорировал это различие и назвал их все звёздчатыми.

Брюкнер

Макс Брюкнер изготовил и сфотографировал модели многих многогранников, лишь некоторые из которых были икосаэдрами. Таф. это сокращение от Тафель, Немецкий для тарелка.

Замечания

№ 8 иногда называют ехиднаэдр после воображаемого сходства с колючим муравьедом или ехидна. Это использование не зависит от Кеплер описание его правильные звездные многогранники как его ехидны.

Таблица пятидесяти девяти икосаэдров

Некоторые изображения иллюстрируют зеркальный икосаэдр с ж₁ а не е₁ клетка.

Crennell	Клетки	Лица	Веннингер	Уиллер	Брюкнер	Замечания
1	А	0	04 Икосаэдр	1		В Платонический икосаэдр
2	B	1	26 Триакис икосаэдр	2	Таф. VIII, рис.2	Первая звездчатая форма икосаэдра, малый триамбический икосаэдр, или Триакизикосаэдр
3	C	2	23 Соединение пяти октаэдров	3	Таф. IX, рис.6	Обычный соединение пяти октаэдров
4	D	3 4	99	4	Таф. IX, Рис.17
5	E	5 6 7	99	99
6	F	8 9 10	27 Вторая звездочка	19		Вторая звездочка икосаэдра
7	грамм	11 12	41 Большой икосаэдр	11	Таф. XI, Рис.24	Большой икосаэдр
8	ЧАС	13	42 Конечная звездчатость	12	Таф. XI, Рис. 14	Окончательная звездчатость икосаэдра или Ехиднаэдр
9	е₁	3' 5	37 Двенадцатая звездочка	99		Двенадцатая звездчатость икосаэдра
10	ж₁	5' 6' 9 10	99	99
11	грамм₁	10' 12	29 Четвертая звездочка	21		Четвертая звездчатость икосаэдра
12	е₁ж₁	3' 6' 9 10	99	99
13	е₁ж₁грамм₁	3' 6' 9 12	99	20
14	ж₁грамм₁	5' 6' 9 12	99	99
15	е₂	4' 6 7	99	99
16	ж₂	7' 8	99	22
17	грамм₂	8' 9'11	99	99
18	е₂ж₂	4' 6 8	99	99
19	е₂ж₂грамм₂	4' 6 9' 11	99	99
20	ж₂грамм₂	7' 9' 11	30 Пятая звездочка	99		Пятая звездчатость икосаэдра
21	Де₁	4 5	32 Седьмая звездочка	10		Седьмая звездочка икосаэдра
22	Ef₁	7 9 10	25 Соединение десяти тетраэдров	8	Таф. IX, рис.	Обычный соединение десяти тетраэдров
23	Fg₁	8 9 12	31 Шестая звездочка	17	Таф. X, рис.3	Шестая звездчатость икосаэдра
24	Де₁ж₁	4 6' 9 10	99	99
25	Де₁ж₁грамм₁	4 6' 9 12	99	99
26	Ef₁грамм₁	7 9 12	28 Третья звездочка	9	Таф. VIII, Рис. 26	Раскопанный додекаэдр
27	Де₂	3 6 7	99	5
28	Ef₂	5 6 8	99	18	Taf.IX, рис.20
29	Fg₂	10 11	33 Восьмая звездочка	14		Восьмая звездчатость икосаэдра
30	Де₂ж₂	3 6 8	34 Девятая звездочка	13		Медиальный триамбический икосаэдр или Большой триамбический икосаэдр
31	Де₂ж₂грамм₂	3 6 9' 11	99	99
32	Ef₂грамм₂	5 6 9' 11	99	99
33	ж₁	5' 6' 9 10	35 Десятая звездочка	99		Десятая звездчатость икосаэдра
34	е₁ж₁	3' 5 6' 9 10	36 Одиннадцатая звездочка	99		Одиннадцатая звездчатость икосаэдра
35	Де₁ж₁	4 5 6' 9 10	99	99
36	ж₁грамм₁	5' 6' 9 10' 12	99	99
37	е₁ж₁грамм₁	3' 5 6' 9 10' 12	39 Четырнадцатая звездочка	99		Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра
38	Де₁ж₁грамм₁	4 5 6' 9 10' 12	99	99
39	ж₁грамм₂	5' 6' 8' 9' 10 11	99	99
40	е₁ж₁грамм₂	3' 5 6' 8' 9' 10 11	99	99
41	Де₁ж₁грамм₂	4 5 6' 8' 9' 10 11	99	99
42	ж₁ж₂грамм₂	5' 6' 7' 9' 10 11	99	99
43	е₁ж₁ж₂грамм₂	3' 5 6' 7' 9' 10 11	99	99
44	Де₁ж₁ж₂грамм₂	4 5 6' 7' 9' 10 11	99	99
45	е₂ж₁	4' 5' 6 7 9 10	40 Пятнадцатая звездочка	99		Пятнадцатая звездчатость икосаэдра
46	Де₂ж₁	3 5' 6 7 9 10	99	99
47	Eж₁	5 6 7 9 10	24 Соединение пяти тетраэдров	7 (6: левша)	Таф. IX, Рис.11	Обычный Соединение пяти тетраэдров (правша)
48	е₂ж₁грамм₁	4' 5' 6 7 9 10' 12	99	99
49	Де₂ж₁грамм₁	3 5' 6 7 9 10' 12	99	99
50	Eж₁грамм₁	5 6 7 9 10' 12	99	99
51	е₂ж₁ж₂	4' 5' 6 8 9 10	38 Тринадцатая звездочка	99		Тринадцатая звёздочка икосаэдра
52	Де₂ж₁ж₂	3 5' 6 8 9 10	99	99
53	Eж₁ж₂	5 6 8 9 10	99	15 (16: левша)
54	е₂ж₁ж₂грамм₁	4' 5' 6 8 9 10' 12	99	99
55	Де₂ж₁ж₂грамм₁	3 5' 6 8 9 10' 12	99	99
56	Eж₁ж₂грамм₁	5 6 8 9 10' 12	99	99
57	е₂ж₁ж₂грамм₂	4' 5' 6 9' 10 11	99	99
58	Де₂ж₁ж₂грамм₂	3 5' 6 9' 10 11	99	99
59	Eж₁ж₂грамм₂	5 6 9' 10 11	99	99

Смотрите также

Список моделей многогранников Веннингера - Книга Веннингера Модели многогранников включены 21 из этих звездчатых.
Твердые тела с икосаэдрической симметрией

Примечания

^ Кокстер, дю Валь и др. (Третье издание, 1999 г.), страницы 15-16.
^ Inchbald, G .; Некоторые утраченные звёздчатые формы икосаэдра, steelpillow.com, 11 июля 2006 г. [1] (получено 14 сентября 2017 г.)]
^ К. и Д. Креннелл; Пятьдесят девять икосаэдров, Друзья Фортрана, [2] (получено 14 сентября 2017 г.).

внешняя ссылка

[1] Кокстер, дю Валь и др. (Третье издание, 1999 г.), страницы 15-16.

[2] Inchbald, G .; Некоторые утраченные звёздчатые формы икосаэдра, steelpillow.com, 11 июля 2006 г. [1] (получено 14 сентября 2017 г.)]

[3] К. и Д. Креннелл; Пятьдесят девять икосаэдров, Друзья Фортрана, [2] (получено 14 сентября 2017 г.).

[1]

[2]

[3]