Число Алеф - Aleph number

Алеф-ноль, или алеф-ноль, наименьшее бесконечное кардинальное число

В математика, особенно в теория множеств, то числа алеф площадь последовательность чисел, используемых для представления мощность (или размер) бесконечные множества это может быть хорошо организованный. Их ввел математик Георг Кантор ^[1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, иврит письмо алеф (${ displaystyle aleph}$).^{[2] [3]}

(Хотя в старых книгах по математике буква алеф часто случайно печатается в перевернутом виде,^{[nb 1]} частично потому что монотипия матрица для алеф была ошибочно построена неверно вверх).^[4]

Мощность натуральные числа является ${ displaystyle aleph _ {0}}$ (читать алеф-ничто или же алеф-зеро; период, термин алеф-нуль также иногда используется), следующая большая мощность хорошо заказываемый набор алеф-один ${ displaystyle aleph _ {1}}$, тогда ${ displaystyle aleph _ {2}}$ и так далее. Продолжая таким образом, можно определить количественное числительное ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ для каждого порядковый номер ${ displaystyle alpha}$, как описано ниже.

Понятие и обозначения обусловлены Георг Кантор,^[5] кто определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь разную мощность.

Цифры алеф отличаются от бесконечность (${ displaystyle infty}$) обычно встречается в алгебре и исчислении, поскольку алефы измеряют размеры множеств, в то время как бесконечность обычно определяется как крайнее предел из действительная числовая линия (применяется к функция или же последовательность который "расходится до бесконечности »или« неограниченно возрастает »), или как крайняя точка расширенная строка действительных чисел.

Алеф-ноль

${ displaystyle aleph _ {0}}$ (aleph-naught, также aleph-zero или aleph-null) - мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечный кардинал. Множество всех конечных порядковые, называется ${ displaystyle omega}$ или же ${ displaystyle omega _ {0}}$ (куда ${ displaystyle omega}$ это строчная греческая буква омега ), имеет мощность ${ displaystyle aleph _ {0}}$. Набор имеет мощность ${ displaystyle aleph _ {0}}$ если и только если это счетно бесконечный, то есть есть биекция (взаимно однозначное соответствие) между ним и натуральными числами. Примеры таких наборов:

• набор всех целые числа,
• любое бесконечное подмножество целых чисел, например, множество всех квадратные числа или набор всех простые числа,
• набор всех рациональное число,
• набор всех конструктивные числа (в геометрическом смысле),
• набор всех алгебраические числа,
• набор всех вычислимые числа,
• набор всех определяемые числа,
• набор всех двоичных струны конечной длины, и
• множество всех конечных подмножества любого заданного счетно бесконечного множества.

Эти бесконечные ординалы: ${ displaystyle omega}$, ${ displaystyle omega +1}$, ${ displaystyle omega cdot 2}$, ${ displaystyle omega ^ {2}}$, ${ displaystyle omega ^ { omega}}$ и ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ находятся среди счетно бесконечных множеств.^[6] Например, последовательность (с ординальность ω · 2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа

${ displaystyle {1,3,5,7,9, ..., 2,4,6,8,10, ... }}$

- упорядочение множества (с мощностью ${ displaystyle aleph _ {0}}$) натуральных чисел.

Если аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиома выбора ) выполняется, то ${ displaystyle aleph _ {0}}$ меньше любого другого бесконечного кардинала.

Алеф-он

${ displaystyle aleph _ {1}}$ - мощность множества всех счетных порядковые номера, называется ${ displaystyle omega _ {1}}$ или иногда ${ displaystyle Omega}$. Этот ${ displaystyle omega _ {1}}$ сам по себе является порядковым номером большим, чем все счетные, так что это бесчисленное множество. Следовательно, ${ displaystyle aleph _ {1}}$ отличается от ${ displaystyle aleph _ {0}}$. Определение ${ displaystyle aleph _ {1}}$ подразумевает (в ZF, Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиома выбора), что никакое кардинальное число не находится между ${ displaystyle aleph _ {0}}$ и ${ displaystyle aleph _ {1}}$. Если аксиома выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью заказанный, и поэтому ${ displaystyle aleph _ {1}}$ - второе по величине бесконечное кардинальное число. Используя аксиому выбора, можно показать одно из наиболее полезных свойств множества ${ displaystyle omega _ {1}}$: любое счетное подмножество ${ displaystyle omega _ {1}}$ имеет верхнюю границу в ${ displaystyle omega _ {1}.}$ (Это следует из того факта, что объединение счетного числа счетных множеств само является счетным - одно из наиболее распространенных приложений аксиомы выбора.) Этот факт аналогичен ситуации в ${ displaystyle aleph _ {0}}$: каждый конечный набор натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, и конечные союзы конечных множеств конечны.

${ displaystyle omega _ {1}}$ на самом деле полезная концепция, хотя и звучит несколько экзотично. Примерное приложение «закрывается» по отношению к счетным операциям; например, пытаясь явно описать ${ displaystyle sigma}$-алгебра генерируется произвольным набором подмножеств (см., например, Борелевская иерархия ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «порождения» в алгебре (векторные пространства, группы и т. д.), потому что в этих случаях нам нужно закрыть только относительно конечных операций - сумм, произведений и т. д. Процесс включает определение для каждого счетного порядкового номера через трансфинитная индукция, набор, "добавляя" все возможные счетные объединения и дополнения, и принимая объединение всего этого по всему ${ displaystyle omega _ {1}}$.

Каждый бесчисленный коаналитический подмножество Польское пространство ${ displaystyle X}$ имеет мощность ${ displaystyle aleph _ {1}}$ или же ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$.^[7]

Гипотеза континуума

В мощность из набора действительные числа (мощность континуума ) является ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$. Это не может быть определено по ZFC (Теория множеств Цермело – Френкеля с аксиома выбора ), где это число точно соответствует иерархии чисел алеф, но из ZFC следует, что гипотеза континуума, CH, эквивалентно тождеству

${ Displaystyle 2 ^ { Алеф _ {0}} = Алеф _ {1}}$ ^[8]

CH утверждает, что не существует набора, мощность которого строго находится между целыми и действительными числами.^[9] CH не зависит от ZFC: его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что ZFC последовательный ). То, что CH соответствует ZFC, было продемонстрировано Курт Гёдель в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC. Независимость от ZFC была продемонстрирована Пол Коэн в 1963 году, когда он, наоборот, показал, что сама CH не является теоремой ZFC - с помощью (тогда нового) метода принуждение. ^[8]

Алеф-омега

Алеф-омега - это

${ displaystyle aleph _ { omega} = sup { aleph _ {n}: n in omega } = sup { aleph _ {n}: n in left {, 0,1,2, точки , право } , }}$

где наименьший бесконечный ординал обозначается ω. То есть кардинальное число ${ displaystyle aleph _ { omega}}$ точная верхняя граница

${ Displaystyle влево {, алеф _ {п}: п в влево {, 0,1,2, точки , вправо } , вправо }}$.

${ displaystyle aleph _ { omega}}$ - первое несчетное кардинальное число, которое может быть продемонстрировано в рамках теории множеств Цермело – Френкеля. нет быть равным мощности множества всех действительные числа; для любого положительного целого числа п мы можем последовательно предполагать, что ${ Displaystyle 2 ^ { Алеф _ {0}} = Алеф _ {п}}$, и, более того, можно предположить ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}$ настолько большой, насколько нам нравится. Мы только вынуждены избегать установки его на определенных кардиналов с конфинальность ${ displaystyle aleph _ {0}}$, что означает, что существует неограниченная функция из ${ displaystyle aleph _ {0}}$ к нему (см. Теорема истона ).

Алеф-${ displaystyle alpha}$ для общего ${ displaystyle alpha}$

Определять ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ для произвольного порядкового номера ${ displaystyle alpha}$, мы должны определить последующая кардинальная операция, который присваивается любому количеству ${ displaystyle rho}$ следующий больший хорошо организованный кардинал ${ displaystyle rho ^ {+}}$ (если аксиома выбора верно, это следующий по величине кардинал).

Затем мы можем определить числа алеф следующим образом:

${ displaystyle aleph _ {0} = omega}$

${ Displaystyle Алеф _ { альфа +1} = Алеф _ { альфа} ^ {+}}$

а для λ бесконечная предельный порядковый номер,

${ displaystyle aleph _ { lambda} = bigcup _ { beta < lambda} aleph _ { beta}.}$

Α-й бесконечный начальный порядковый номер написано ${ displaystyle omega _ { alpha}}$. Его мощность записана ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$.В ZFC функция алеф ${ displaystyle aleph}$ является взаимно однозначным отображением ординалов в бесконечные кардиналы.^[10]

Неподвижные точки омеги

Для любого ординала α имеем

${ displaystyle alpha leq omega _ { alpha}.}$

Во многих случаях ${ displaystyle omega _ { alpha}}$ строго больше, чем α. Например, для любого последующего ординала α это верно. Однако есть некоторые предельные порядковые номера, которые фиксированные точки омега-функции из-за лемма о неподвижной точке для нормальных функций. Первый из них - это предел последовательности

${ displaystyle omega, omega _ { omega}, omega _ { omega _ { omega}}, ldots.}$

Любой слабо недоступный кардинал также является фиксированной точкой функции алеф.^[11] Это можно показать в ZFC следующим образом. Предполагать ${ displaystyle kappa = aleph _ { lambda}}$ - слабо недоступный кардинал. Если ${ displaystyle lambda}$ были порядковый номер преемника, тогда ${ displaystyle aleph _ { lambda}}$ будет преемник кардинала и, следовательно, не слабо недоступен. Если ${ displaystyle lambda}$ были предельный порядковый номер меньше, чем ${ displaystyle kappa}$, то его конфинальность (и, следовательно, кофинальность ${ displaystyle aleph _ { lambda}}$) будет меньше, чем ${ displaystyle kappa}$ и так ${ displaystyle kappa}$ не было бы регулярным и, следовательно, не слабо недоступным. Таким образом ${ displaystyle lambda geq kappa}$ и следовательно ${ displaystyle lambda = kappa}$ что делает его фиксированной точкой.

Роль аксиомы выбора

Мощность любого бесконечного порядковый номер это число алеф. Каждый алеф - это мощность некоторого ординала. Меньше всего это его начальный порядковый номер. Любой набор, мощность которого является алефом, является равномерный с порядковым номером и, таким образом, удобный.

Каждый конечный набор хорошо упорядочивается, но в качестве мощности не используется алеф.

Предположение, что мощность каждого бесконечный набор является алеф-числом, эквивалентно над ZF существованию хорошего упорядочения каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно аксиома выбора. Теория множеств ZFC, которая включает аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алефов в качестве своей мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые числа чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.

Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, уже невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет некоторое число алеф в качестве мощности; множества, мощность которых является числом алеф, в точности являются бесконечными множествами, которые можно упорядочить. Методика Уловка Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей для количественных чисел в настройке ZF. Например, можно определить карту (S) как множество множеств той же мощности, что и S минимально возможного ранга. Это свойство карты (S) = карточка (Т) если и только если S и Т имеют одинаковую мощность. (Установленная карта (S) не имеет такой же мощности S в общем, но все его элементы делают.)

Смотрите также

• Число Бет
• Обычный кардинал
• Трансфинитное число
• Порядковый номер

Примечания

Цитаты

Рекомендации

• Серпинский, Вацлав (1958), Кардинальные и порядковые числа, Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne, 34, Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, МИСТЕР  0095787

внешняя ссылка

• «Алеф-ноль», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0». MathWorld.