Теорема Монски - Monskys theorem - Wikipedia

В геометрия, Теорема Монского заявляет, что невозможно рассечь квадрат на нечетное количество треугольники равной площади.[1] Другими словами, квадрат не имеет нечетного равнодушие.

Проблема была поставлена ​​Фредом Ричманом в Американский математический ежемесячный журнал в 1965 г. и было доказано Пол Монски в 1970 г.[2][3][4]

Доказательство

Доказательство Монского объединяет комбинаторный и алгебраический техники, и в общих чертах выглядит следующим образом:

Квадрат можно разделить на четное количество треугольников равной площади (слева), но только на нечетное количество примерно равновеликие треугольники (справа).
  1. Возьмем квадрат за единичный квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1). Если есть рассечение на п треугольников равной площади, то площадь каждого треугольника равна 1 /п.
  2. Раскрасьте каждую точку квадрата одним из трех цветов в зависимости от 2-адическая оценка его координат.
  3. Покажите, что прямая линия может содержать точки только двух цветов.
  4. Использовать Лемма Спернера чтобы показать, что каждый триангуляция квадрата на треугольники, пересекающиеся друг с другом, должен содержать хотя бы один треугольник, вершины которого имеют три разных цвета.
  5. Сделайте вывод из свойства прямой линии, что трехцветный треугольник также должен существовать в каждом разрезе квадрата на треугольники, не обязательно пересекаясь от края до края.
  6. Используйте декартову геометрию, чтобы показать, что 2-адическая оценка площади треугольника, вершины которого имеют три разных цвета, больше 1. Таким образом, каждое разбиение квадрата на треугольники должно содержать по крайней мере один треугольник, площадь которого имеет 2-адическое значение. больше 1.
  7. Если п нечетно, то 2-адическая оценка 1 /п равно 1, поэтому невозможно разрезать квадрат на треугольники, все из которых имеют площадь 1 /п.[5]

Оптимальные разрезы

Основная статья: Эквидиссекция § Связанные проблемы

По теореме Монски необходимы треугольники с разной площадью, чтобы разрезать квадрат на нечетное количество треугольников. Были изучены нижние границы для разностей площадей, которые должны произойти, чтобы разрезать квадрат на нечетное количество треугольников и оптимальные разрезы.[6][7][8]

Обобщения

Основная статья: Равнодушие

Теорема может быть обобщена на более высокие измерения: п-размерный гиперкуб можно разделить только на симплексы равного объема, если количество симплексов кратно п!.[2]

Рекомендации

  1. ^ Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2010). «Один квадрат и нечетное количество треугольников». Доказательства из книги (4-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. стр.131–138. Дои:10.1007/978-3-642-00856-6_20. ISBN  978-3-642-00855-9.
  2. ^ а б Сюй, Мур (4 апреля 2012 г.). Лемма Спернера (PDF) (Технический отчет). Калифорнийский университет в Беркли.
  3. ^ Монский, П. (1970). «О разделении квадрата на треугольники». Американский математический ежемесячник. 77 (2): 161–164. Дои:10.2307/2317329. JSTOR  2317329. МИСТЕР  0252233.
  4. ^ Штейн, С. (2004). Клебер, М .; Вакиль Р. (ред.). «Разрезание многоугольника на равные по площади треугольники». Математический интеллект. 26: 17–21. Дои:10.1007 / BF02985395.
  5. ^ Веррилл, Х.А. (8 сентября 2004 г.). «Разбиение квадрата на треугольники» (PDF). Государственный университет Луизианы. Архивировано из оригинал (PDF) 18 августа 2010 г.. Получено 2010-08-18.
  6. ^ Мансоу, К. (2003), Ungerade Triangulierungen eines Quadrats von kleiner Diskrepanz (en. Нечетные триангуляции квадрата малого несоответствия) (Diplomarbeit), Германия: TU Berlin
  7. ^ Шульце, Бернд (1 июля 2011 г.). «О несовпадении площадей триангуляций квадратов и трапеций». Электронный журнал комбинаторики. 18 (1): # P137. Zbl  1222.52017.открытый доступ
  8. ^ Лаббе, Жан-Филипп; Роте, Гюнтер; М. Циглер, Гюнтер (2018). «Границы разности площадей для разбиений квадрата на нечетное количество треугольников». Экспериментальная математика: 1–23. arXiv:1708.02891. Дои:10.1080/10586458.2018.1459961.