Число Милнора - Milnor number

В математике и особенно теория сингулярности, то Число Милнора, названный в честь Джон Милнор, является инвариантом ростка функции.

Если ж является комплекснозначным голоморфным функция росток тогда число Милнора ж, обозначенный μ(ж), является либо неотрицательным целое число, или бесконечный. Это можно рассматривать как геометрический инвариантный и алгебраический инвариантный. Вот почему он играет важную роль в алгебраическая геометрия и теория сингулярности.

Определение

Рассмотрим голоморфный сложный функция росток

{ displaystyle f: ( mathbb {C} ^ {n}, 0) to ( mathbb {C}, 0) }

и обозначим через ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ то звенеть всех функциональных микробов ${ displaystyle ( mathbb {C} ^ {n}, 0) to ( mathbb {C}, 0)}$ . Каждый уровень функции представляет собой сложную гиперповерхность в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ , поэтому мы будем называть ${ displaystyle f}$ гиперповерхность необычность.

Предположим, это изолированная особенность: в случае голоморфных отображений говорят, что особенность гиперповерхности ${ displaystyle f}$ является особенным в ${ displaystyle 0 in mathbb {C} ^ {n}}$ если это градиент ${ displaystyle nabla f}$ равен нулю в ${ displaystyle 0}$ . Особая точка изолирована, если она является единственной особой точкой в достаточно малом район. В частности, кратность градиента

{ displaystyle mu (f) = dim _ { mathbb {C}} { mathcal {O}} _ {n} / nabla f}

конечно. этот номер ${ Displaystyle му (е)}$ - число Милнора особенности ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle 0}$ .

Геометрическая интерпретация

Милнор изначально^[1] представил ${ Displaystyle му (е)}$ в геометрическом выражении следующим образом. Все волокна ${ displaystyle f ^ {- 1} (с)}$ для ценностей ${ displaystyle c}$ рядом с ${ displaystyle 0}$ неособые многообразия реальной размерности ${ Displaystyle 2 (п-1)}$ . Их пересечение с небольшим открытым диском ${ displaystyle D _ { epsilon}}$ сосредоточен на ${ displaystyle 0}$ гладкое многообразие ${ displaystyle F}$ называется волокном Милнора. С точностью до диффеоморфизма ${ displaystyle F}$ не зависит от ${ displaystyle c}$ или же ${ displaystyle epsilon}$ если они достаточно маленькие. Он также диффеоморфен слою Карта расслоения Милнора.

Волокно Милнора ${ displaystyle F}$ гладкое многообразие размерности ${ Displaystyle 2 (п-1)}$ и имеет то же самое гомотопический тип как букет из ${ Displaystyle му (е)}$ сферы ${ Displaystyle S ^ {п-1}}$ . Это означает, что его середина Бетти число ${ displaystyle b_ {n-1} (F)}$ равно числу Милнора и имеет гомология точки размером меньше, чем ${ displaystyle n-1}$ . Например, комплексная плоская кривая около каждой особой точки ${ displaystyle z_ {0}}$ волокно Милнора гомотопно клин ${ displaystyle mu _ {z_ {0}} (е)}$ круги (Число Милнора - это локальное свойство, поэтому оно может иметь разные значения в разных особых точках).

Таким образом, мы имеем равенства

Число Милнора = количество сфер в клин = средний Бетти число из

{ displaystyle F}

= степень карты

{ Displaystyle г к { гидроразрыва {{ набла} е (г)} { | { набла} е (г) |}}}

на

{ displaystyle S _ { epsilon}}

= кратность градиента

{ displaystyle nabla f}

Еще один способ взглянуть на число Милнора: возмущение. Мы говорим, что точка - это вырожденная особая точка, или что ж имеет вырожденную особенность, при ${ displaystyle z_ {0} in mathbb {C} ^ {n}}$ если ${ displaystyle z_ {0}}$ особая точка и Матрица Гессе всех частных производных второго порядка имеет нуль детерминант в ${ displaystyle z_ {0}}$ :

{ displaystyle det left ({ frac { partial ^ {2} f} { partial z_ {i} partial z_ {j}}} right) _ {1 leq i leq j leq n } ^ {z = z_ {0}} = 0.}

Мы предполагаем, что ж имеет вырожденную особенность в 0. Мы можем говорить о кратности этой вырожденной особенности, думая о том, сколько точек бесконечно мало приклеен. Если мы сейчас возмущать образ ж определенным устойчивым образом изолированная вырожденная особенность в 0 расщепится на другие изолированные особенности, которые невырождены! Количество таких изолированных невырожденных особенностей будет числом бесконечно склеенных точек.

А именно, возьмем другой росток функции грамм неособое в нуле, и рассмотрим росток новой функции h: = f + εg куда ε очень маленький. Когда ε = 0, тогда h = f. Функция час называется морсификация из ж. Вычислить особенности час, и действительно, это может быть вычислительно невозможно. Это количество баллов, которые были бесконечно мало склеенные, эта локальная кратность ж, в точности число Милнора ж.

Дальнейшие вклады^[2] придают смысл числу Милнора с точки зрения размерности пространства версальные деформации, т.е. число Милнора - это минимальная размерность параметрического пространства деформаций, несущего всю информацию о начальной особенности.

Алгебраическая интерпретация

Используя некоторые алгебраический методов, мы можем вычислить число Милнора ж легко. К ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ обозначить звенеть функциональных микробов ${ displaystyle ( mathbb {C} ^ {n}, 0) to ( mathbb {C}, 0)}$ . К ${ displaystyle J_ {f}}$ обозначить Якобианский идеал из ж:

{ displaystyle J_ {f}: = left langle { frac { partial f} { partial z_ {i}}}: 1 leq i leq n right rangle.}

Локальная алгебра ж тогда дается частное алгебра

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {f}: = { mathcal {O}} / J_ {f}.}

Обратите внимание, что это фактор-пространство на самом деле будет векторное пространство, хотя он может и не быть конечномерным. Тогда число Милнора равно комплексной размерности локальной алгебры:

{ displaystyle mu (f) = dim _ { mathbb {C}} { mathcal {A}} _ {f} .}

Из формулы Гильберта следует Nullstellensatz который ${ Displaystyle му (е)}$ конечно тогда и только тогда, когда начало координат изолированные критическая точка ж; то есть существует окрестность 0 в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ так что единственная критическая точка ж внутри этой окрестности находится в 0.

Примеры

Здесь мы приводим несколько отработанных примеров в двух переменных. Работа только с одной слишком проста и не дает представления о методах, тогда как работа с тремя переменными может быть довольно сложной. Два - хорошее число. Также мы придерживаемся полиномов. Если ж только голоморфный а не полином, то мы могли бы работать с степенной ряд расширение ж.

1

Рассмотрим росток функции с невырожденной особенностью в 0, скажем ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$ . Якобианский идеал просто ${ Displaystyle langle 2x, 2y rangle = langle x, y rangle}$ . Далее мы вычисляем локальную алгебру:

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {f} = { mathcal {O}} / langle x, y rangle = langle 1 rangle.}

Чтобы понять, почему это так, мы можем использовать Лемма Адамара который говорит, что мы можем написать любую функцию ${ displaystyle h in { mathcal {O}}}$ в качестве

{ displaystyle h (x, y) = k + xh_ {1} (x, y) + yh_ {2} (x, y)}

для некоторой постоянной k и функции ${ displaystyle h_ {1}}$ и ${ displaystyle h_ {2}}$ в ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ (где либо ${ displaystyle h_ {1}}$ или же ${ displaystyle h_ {2}}$ или оба могут быть точно равны нулю). Итак, по модулю функциональных кратных Икс и y, мы можем написать час как константа. Пространство постоянных функций натянуто на 1, поэтому ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {f} = langle 1 rangle}$

Следует, что μ(ж) = 1. Легко проверить, что для любого ростка функции грамм с невырожденной особенностью в 0 получаем μ(грамм) = 1.

Отметим, что применение этого метода к ростку неособой функции грамм мы получили μ(грамм) = 0.

2

Позволять ${ Displaystyle е (х, у) = х ^ {3} + ху ^ {2}}$ , тогда

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {f} = { mathcal {O}} / langle 3x ^ {2} + y ^ {2}, xy rangle = langle 1, x, y, x ^ {2} rangle.}

Так что в этом случае ${ Displaystyle му (е) = 4}$ .

3

Можно показать, что если ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {3}}$ тогда ${ Displaystyle му (е) = infty.}$

Это может быть объяснил тем, что ж особа в каждой точке Икс-ось.

Версальные деформации

Позволять ж иметь конечное число Милнора μ, и разреши ${ displaystyle g_ {1}, ldots, g _ { mu}}$ быть основа для локальной алгебры, рассматриваемой как векторное пространство. Тогда миниверсальная деформация ж дан кем-то

{ Displaystyle F: ( mathbb {C} ^ {n} times mathbb {C} ^ { mu}, 0) to ( mathbb {C}, 0),}

{ Displaystyle F (z, a): = f (z) + a_ {1} g_ {1} (z) + cdots + a _ { mu} g _ { mu} (z),}

куда ${ displaystyle (a_ {1}, dots, a _ { mu}) in mathbb {C} ^ { mu}}$ Эти деформации (или разворачивается ) представляют большой интерес во многих областях науки.^{[нужна цитата ]}

Инвариантность

Мы можем собрать вместе ростки функций, чтобы построить классы эквивалентности. Одна стандартная эквивалентность А-эквивалентность. Мы говорим, что ростки двух функций ${ displaystyle f, g: ( mathbb {C} ^ {n}, 0) to ( mathbb {C}, 0)}$ находятся А-эквивалентно, если есть диффеоморфизм микробы ${ displaystyle phi: ( mathbb {C} ^ {n}, 0) to ( mathbb {C} ^ {n}, 0)}$ и ${ displaystyle psi: ( mathbb {C}, 0) to ( mathbb {C}, 0)}$ такой, что ${ Displaystyle f circ phi = psi circ g}$ : существует диффеоморфная замена переменной в обоих домен и классифицировать который берет ж к грамм.

Число Милнора не дает полного инварианта для ростков функций. У нас есть это, если ж и грамм находятся А-эквивалентно тогда μ(ж) = μ(граммОбратное неверно: существуют ростки функций ж и грамм с μ(ж) = μ(грамм) которые не А-эквивалент. Чтобы увидеть это, подумайте ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {3} + y ^ {3}}$ и ${ Displaystyle г (х, у) = х ^ {2} + у ^ {5}}$ . У нас есть ${ Displaystyle му (е) = му (г) = 4}$ но ж и грамм явно не А-эквивалентно, поскольку Матрица Гессе из ж равен нулю, а грамм не является (и ранг гессиана А-инвариантна, как нетрудно убедиться).