Лемма Адамара - Hadamards lemma - Wikipedia

В математика, Лемма Адамара, названный в честь Жак Адамар, по сути, является формой первого порядка Теорема Тейлора, в котором мы можем выразить гладкую вещественнозначную функцию точно и удобно.

Заявление

Пусть ƒ - гладкая вещественнозначная функция, определенная на открытом, звездообразный район U точки а в п-мерное евклидово пространство. Тогда ƒ (Икс) можно выразить для всех Икс в U, в виде:

${ displaystyle f (x) = f (a) + sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} -a_ {i} right) g_ {i} (x),}$

где каждый грамм_я является гладкой функцией на U, а = (а₁, …, а_п), и Икс = (Икс₁, …, Икс_п).

Доказательство

Позволять Икс быть в U. Позволять час отображение из [0,1] в действительные числа, определяемые

${ Displaystyle ч (т) = е (а + т (х-а)).}$

Тогда, поскольку

${ displaystyle h '(t) = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial f} { partial x_ {i}}} (a + t (xa)) left (x_ {i} -a_ {i} right),}$

у нас есть

${ displaystyle h (1) -h (0) = int _ {0} ^ {1} h '(t) , dt = int _ {0} ^ {1} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial f} { partial x_ {i}}} (a + t (xa)) left (x_ {i} -a_ {i} right) , dt = sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} -a_ {i} right) int _ {0} ^ {1} { frac { partial f} { partial x_ {i} }} (a + t (xa)) , dt.}$

Но, кроме того, час(1) − час(0) = ж(Икс) − ж(а), так что если мы позволим

${ displaystyle g_ {i} (x) = int _ {0} ^ {1} { frac { partial f} { partial x_ {i}}} (a + t (xa)) , dt, }$

мы доказали теорему.

Рекомендации

• Неструев, Джет (2002). Гладкие многообразия и наблюдаемые. Берлин: Springer. ISBN  0-387-95543-7.