Список теорий когомологий - List of cohomology theories

Это список некоторых обычных и генерализованный (или экстраординарный) теории гомологий и когомологий в алгебраическая топология которые определены по категориям Комплексы CW или спектры. Для других видов теорий гомологии см. ссылки в конце статьи.

Обозначение

• S = π = S⁰ спектр сферы.
• S^п это спектр п-мерная сфера
• S^пY = S^п∧Y это пth подвеска спектра Y.
• [Икс,Y] - абелева группа морфизмов из спектра Икс к спектру Y, заданные (примерно) как гомотопические классы отображений.
• [Икс,Y]_п = [S^пИкс,Y]
• [Икс,Y]_* - градуированная абелева группа, заданная как сумма групп [Икс,Y]_п.
• π_п(Икс) = [S^п, Икс] = [S, Икс]_п это п-я стабильная гомотопическая группа Икс.
• π_*(Икс) - сумма групп π_п(Икс), и называется кольцо коэффициентов из Икс когда Икс - кольцевой спектр.
• Икс∧Y это разбить продукт двух спектров.

Если Икс является спектром, то он определяет обобщенные теории гомологий и когомологий на категории спектров следующим образом.

• Икс_п(Y) = [S, Икс∧Y]_п = [S^п, Икс∧Y] - обобщенные гомологии Y,
• Икс^п(Y) = [Y, Икс]_−п = [S^−пY, Икс] - обобщенные когомологии Y

Теории обычных гомологий

Это теории, удовлетворяющие "аксиоме размерности" Аксиомы Эйленберга – Стинрода что гомологии точки равны нулю в размерности, отличной от 0. Они определяются абелевский группа коэффициентов грамм, и обозначается H (Икс, грамм) (кудаграмм иногда опускается, особенно если это Z). Обычно грамм - это целые числа, рациональные числа, действительные числа, комплексные числа или целые числа по модулю простого п.

Функторы когомологий обычных теорий когомологий представлены Пространства Эйленберга – Маклейна.

На симплициальных комплексах эти теории совпадают с особые гомологии и когомологии.

Гомологии и когомологии с целыми коэффициентами.

Спектр: H (Спектр Эйленберга – Маклейна целых чисел.)

Кольцо коэффициентов: π_п(H) = Z если п = 0, 0 в противном случае.

Исходная теория гомологии.

Гомологии и когомологии с рациональными (действительными или комплексными) коэффициентами.

Спектр: HQ (спектр рациональных чисел Эйленберга – Мак Лейна).

Кольцо коэффициентов: π_п(HQ) = Q если п = 0, 0 в противном случае.

Это простейшая из всех теорий гомологии. Группы гомологий HQ_п(Икс) часто обозначают H_п(Икс, QГруппы гомологий H (Икс, Q), H (Икс, р), H (Икс, C) с рациональный, настоящий, и сложный все коэффициенты похожи и используются в основном, когда кручение не представляет интереса (или слишком сложно для расчета). В Разложение Ходжа пишет сложные когомологии комплекса проективное разнообразие как сумма когомологии пучков группы.

Гомологии и когомологии с mod п коэффициенты.

Спектр: Гц_п (Спектр Эйленберга – Маклейна целых чисел modп.)

Кольцо коэффициентов: π_п(Гц_п) = Z_п (Целочисленный мод п) если п = 0, 0 в противном случае.

K-теории

Проще K-теории пространства часто связаны с векторные пакеты над пространством, и различные виды K-теорий соответствуют различным структурам, которые можно поместить в векторное расслоение.

Реальная K-теория

Спектр: КО

Кольцо коэффициентов: Группы коэффициентов π_я(KO) имеют период 8 в я, задаваемый последовательностью Z, Z₂, Z₂,0, Z, 0, 0, 0, повторяется. Как кольцо, он порождается классом η по степени 1, класс Икс₄ в 4 степени и обратимый класс v₁⁴ в степени 8 при условии, что 2η = η³ = ηx₄ = 0 и Икс₄² = 4v₁⁴.

КО⁰(Икс) - кольцо стабильных классов эквивалентности вещественных векторных расслоений над Икс. Периодичность Ботта следует, что K-группы имеют период 8.

Комплексная K-теория

Спектр: КУ (даже термины БУ или Z × БУ, нечетные условия U).

Кольцо коэффициентов: Кольцо коэффициентов K^*(точка) - кольцо Полиномы Лорана в генераторе степени 2.

K⁰(Икс) - кольцо стабильных классов эквивалентности комплексных векторных расслоений над Икс. Периодичность Ботта следует, что K-группы имеют период 2.

Кватернионная K-теория

Спектр: KSp

Кольцо коэффициентов: Группы коэффициентов π_я(KSp) имеют период 8 в я, задаваемый последовательностью Z, 0, 0, 0,Z, Z₂, Z₂, 0, повторяется.

KSp⁰(Икс) - кольцо стабильных классов эквивалентности кватернионных векторных расслоений над Икс. Периодичность Ботта следует, что K-группы имеют период 8.

K теория с коэффициентами

Спектр: КГ

грамм некоторая абелева группа; например локализация Z_(п) в расцвете сил п. Другим K-теориям также можно дать коэффициенты.

Самосопряженная K-теория

Спектр: KSC

Кольцо коэффициентов: будет написано ...

Группы коэффициентов ${ displaystyle pi _ {я}}$(KSC) имеют период 4 в я, задаваемый последовательностью Z, Z₂, 0, Z, повторил. Представлено Дональдом В. Андерсоном в его неопубликованной работе 1964 года. Калифорнийский университет в Беркли Кандидат наук. диссертация "Новая теория когомологий".

Соединительные K-теории

Спектр: ku для связной K-теории, ko для связной вещественной K-теории.

Кольцо коэффициентов: Для ku кольцо коэффициентов - это кольцо многочленов над Z на одном классе v₁ в размерности 2. Для ko кольцо коэффициентов - это фактор кольца многочленов от трех образующих, η в измерении 1, Икс₄ в размерности 4, и v₁⁴ в размерности 8, генератор периодичности, по модулю соотношений 2η = 0, Икс₄² = 4v₁⁴, η³ = 0 иηx = 0.

Грубо говоря, это K-теория с уничтоженными частями отрицательной размерности.

КР-теория

Это теория когомологий, определенная для пространств с инволюцией, из которой могут быть выведены многие другие K-теории.

Теории бордизма и кобордизма

Кобордизм исследования коллекторы, где многообразие считается «тривиальным», если оно является границей другого компактного многообразия. Классы кобордизмов многообразий образуют кольцо, которое обычно является кольцом коэффициентов некоторой обобщенной теории когомологий. Существует множество таких теорий, примерно соответствующих различным структурам, которые можно построить на многообразии.

Функторы теорий кобордизмов часто представлены Пространства Тома определенных групп.

Стабильная гомотопия и когомотопия

Спектр: S (сферический спектр ).

Кольцо коэффициентов: Группы коэффициентов π_п(S) являются стабильные гомотопические группы сфер, которые, как известно, сложно вычислить или понять для п > 0. (Для п <0 они исчезают, а при п = 0 группаZ.)

Стабильная гомотопия тесно связана с кобордизмом обрамленные коллекторы (многообразия с тривиализацией нормального расслоения).

Неориентированный кобордизм

Спектр: МО (Спектр Тома из ортогональная группа )

Кольцо коэффициентов: π_*(MO) - кольцо классов кобордизмов неориентированных многообразий и кольцо многочленов над полем с двумя элементами на образующих степени я для каждого я не в форме 2^п−1. Это: ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2} [x_ {2}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}, x_ {8} cdots]}$ где ${ displaystyle x_ {2n}}$ могут быть представлены классами ${ displaystyle mathbb {RP} ^ {2n}}$ а для нечетных индексов можно использовать соответствующие Dold коллекторы.

Неориентированный бордизм является 2-кручением, так как 2 млн граница ${ displaystyle M times I}$.

MO - довольно слабая теория кобордизмов, поскольку спектр MO изоморфен H (π_*(МО)) ("гомологии с коэффициентами в π_*(МО) ") - МО является продуктом Спектры Эйленберга – Маклейна.. Другими словами, соответствующие теории гомологий и когомологий не более мощны, чем гомологии и когомологии с коэффициентами в Z/2Z. Это была первая полностью описанная теория кобордизма.

Сложный кобордизм

Спектр: MU (спектр Тома унитарная группа )

Кольцо коэффициентов: π_*(MU) является кольцом многочленов от образующих степени 2, 4, 6, 8, ... и естественно изоморфно Универсальное кольцо Лазарда, и - кольцо кобордизмов устойчиво почти комплексные многообразия.

Ориентированный кобордизм

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2009 г.)

Спектр: MSO (спектр Тома специальная ортогональная группа )

Кольцо коэффициентов: Класс ориентированных кобордизмов многообразия полностью определяется его характеристическими числами: Числа Штифеля – Уитни и Понтрягина числа, но общее кольцо коэффициентов, обозначенное ${ Displaystyle Omega _ {*} = Omega (*) = MSO (*)}$ является довольно сложным. Рационально и при 2 (соответствующих классам Понтрягина и Штифеля – Уитни соответственно) MSO является произведением Спектры Эйленберга – Маклейна. – ${ Displaystyle MSO _ { mathbf {Q}} = H ( pi _ {*} (MSO _ { mathbf {Q}}))}$ и ${ Displaystyle MSO [2] = H ( pi _ {*} (MSO [2]))}$ - но с нечетными простыми числами это не так, и структуру сложно описать. Кольцо было полностью описано как единое целое, благодаря работе Джон Милнор, Борис Авербух, Владимир Рохлин, и К. Т. К. Уолл.

Особый унитарный кобордизм

Спектр: МГУ (спектр Тома особая унитарная группа )

Кольцо коэффициентов:

Спиновый кобордизм (и варианты)

Спектр: MSpin (спектр Тома вращательная группа )

Кольцо коэффициентов: См. (Д. В. Андерсон, Э. Х. Браун и Ф. П. Петерсон.1967 ).

Симплектический кобордизм

Спектр: MSp (спектр Тома симплектическая группа )

Кольцо коэффициентов:

Кобордизм алгебры Клиффорда

Кобордизм PL и топологический кобордизм

Спектр: MPL, MSPL, MTop, MSTop

Кольцо коэффициентов:

Определение аналогично кобордизму, за исключением того, что здесь используется кусочно-линейный или топологический вместо гладкий; плавный коллекторы ориентированы или неориентированы. кольца коэффициентов сложны.

Когомологии Брауна – Петерсона

Спектр: BP

Кольцо коэффициентов: π_*(BP) - алгебра полиномов над Z_(п) на генераторах v_п размерности 2 (п^п - 1) для п ≥ 1.

Когомологии Брауна – Петерсона BP являются слагаемыми в MU_п, который является комплексным кобордизмом MU, локализованным в простом п. Фактически MU_(п) представляет собой сумму приостановлений БП.

Моравская К-теория

Спектр: K (п) (Они также зависят от простого п.)

Кольцо коэффициентов: F_п[v_п, v_п⁻¹], где v_п имеет степень 2 (п^п -1).

Эти теории имеют период 2 (п^п - 1). Они названы в честь Джек Морава.

Теория Джонсона-Вильсона

Спектр E(п)

Кольцо коэффициентов Z₍₂₎[v₁, ..., v_п, 1/v_п] где v_я имеет степень 2 (2^я−1)

Струнный кобордизм

Спектр:

Кольцо коэффициентов:

Теории, связанные с эллиптические кривые

Эллиптические когомологии

Спектр: Ell

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2009 г.)

Топологические модульные формы

Спектры: tmf, TMF (ранее назывался eo₂.)

Кольцо коэффициентов π_*(tmf) называется кольцом топологические модульные формы. TMF - это tmf с инвертированной 24-й степенью модульной формы Δ и периодом 24²= 576. В расцвете сил п = 2 пополнением tmf является спектр eo₂, а K (2) -локализация tmf - это спектр высшей вещественной K-теории Хопкинса-Миллера EO₂.

Смотрите также

Рекомендации

• Стабильная гомотопия и обобщенные гомологии (Чикагские лекции по математике) Дж. Фрэнк Адамс, Издательство Чикагского университета; Переиздание (27 февраля 1995 г.) ISBN  0-226-00524-0
• Андерсон, Дональд В .; Браун, Эдгар Х. мл.; Петерсон, Франклин П. (1967), "Структура кольца спиновых кобордизмов", Анналы математики, Вторая серия, 86 (2): 271–298, Дои:10.2307/1970690, JSTOR  1970690
• Заметки по теории кобордизма, к Роберт Э. Стонг, Princeton University Press (1968) ASIN B0006C2BN6
• Эллиптические когомологии (Университетская серия по математике) Чарльза Б. Томаса, Springer; 1 издание (октябрь 1999 г.) ISBN  0-306-46097-1