Соотношения ортогональности Шура - Schur orthogonality relations

В математике Соотношения ортогональности Шура, что доказано Иссай Шур через Лемма Шура, выразите центральный факт о представления конечных группы. Они допускают обобщение на случай компактные группы в целом и в частности компактные группы Ли, такой как группа вращения SO (3).

Конечные группы

Внутреннее заявление

Пространство комплекснозначных функции класса конечной группы G имеет естественный внутренний продукт:

{displaystyle leftlangle alpha, eta ightangle: = {frac {1} {left | Gight |}} sum _ {gin G} alpha (g) {overline {eta (g)}}}

куда ${displaystyle {overline {eta (g)}}}$ означает комплексное сопряжение значения ${displaystyle eta}$ на грамм. Что касается этого внутреннего продукта, неприводимое символы образуют ортонормированный базис для пространства функций классов, что дает соотношение ортогональности для строк таблицы характеристик:

{displaystyle leftlangle chi _ {i}, chi _ {j} ightangle = {egin {cases} 0 & {mbox {if}} ieq j, 1 & {mbox {if}} i = j.end {case}}}

За ${displaystyle g, hin G}$ , применение того же внутреннего продукта к столбцам таблицы символов дает:

{displaystyle sum _ {chi _ {i}} chi _ {i} (g) {overline {chi _ {i} (h)}} = {egin {cases} left | C_ {G} (g) ight |, & {mbox {if}} g, h {mbox {сопряжены}} 0 & {mbox {в противном случае.}} end {case}}}

где сумма берется по всем неприводимым персонажам ${displaystyle chi _ {i}}$ из грамм и символ ${displaystyle left | C_ {G} (g) ight |}$ обозначает порядок централизатор из ${displaystyle g}$ . Обратите внимание, что поскольку $грамм$ и $час$ являются сопряженными, если они находятся в одном столбце таблицы символов, это означает, что столбцы таблицы символов ортогональны.

Отношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

разложение неизвестного символа на линейную комбинацию неприводимых символов;
построение полной таблицы символов, когда известны только некоторые из неприводимых символов;
нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы; и
поиск порядка в группе.

Заявление о координатах

Позволять ${displaystyle Gamma ^ {(лямбда)} (R) _ {mn}}$ быть матрица элемент несводимый матричное представление ${displaystyle Gamma ^ {(лямбда)}}$ конечной группы ${displaystyle G = {R}}$ порядка |грамм|, т.е. грамм имеет |грамм| элементы. Поскольку можно доказать, что любое матричное представление любой конечной группы эквивалентно унитарное представительство, мы предполагаем ${displaystyle Gamma ^ {(лямбда)}}$ унитарен:

{displaystyle sum _ {n = 1} ^ {l_ {lambda}}; Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nm} ^ {*}; Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nk}. = дельта _ {mk} quad {hbox {для всех}} quad Rin G,}

куда ${displaystyle l_ {lambda}}$ - (конечная) размерность неприводимого представления ${displaystyle Gamma ^ {(лямбда)}}$ .^[1]

В отношения ортогональности, действительно только для матричных элементов несводимый представительства, это:

{displaystyle sum _ {Rin G} ^ {| G |}; Gamma ^ {(лямбда)} (R) _ {nm} ^ {*}; Gamma ^ {(mu)} (R) _ {n'm ' } = delta _ {lambda mu} delta _ {nn '} delta _ {mm'} {frac {| G |} {l_ {lambda}}}.}.}

Здесь ${displaystyle Gamma ^ {(лямбда)} (R) _ {нм} ^ {*}}$ является комплексным сопряжением ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nm},}$ и сумма по всем элементам грамм. Дельта Кронекера ${displaystyle delta _ {lambda mu}}$ равно единице, если матрицы находятся в одном неприводимом представлении ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)} = Gamma ^ {(mu)}}$ . Если ${displaystyle Gamma ^ {(лямбда)}}$ и ${displaystyle Gamma ^ {(mu)}}$ неэквивалентны, он равен нулю. Две другие дельты Кронекера утверждают, что индексы строки и столбца должны быть равны ( ${displaystyle n = n '}$ и ${displaystyle m = m '}$ ), чтобы получить результат, отличный от нуля. Эта теорема также известна как Великая (или Великая) теорема ортогональности.

Каждая группа имеет тождественное представление (все элементы группы отображаются на действительное число 1). Это неприводимое представление. Из соотношений большой ортогональности сразу следует, что

{displaystyle sum _ {Rin G} ^ {| G |}; Гамма ^ {(mu)} (R) _ {nm} = 0}

за ${displaystyle n, m = 1, ldots, l_ {mu}}$ и любое неприводимое представление ${displaystyle Gamma ^ {(mu)},}$ не равно тождественному представлению.

Пример группы перестановок на 3 объектах

3! перестановки трех объектов образуют группу порядка 6, обычно обозначаемую $S 3$ (симметричная группа ). Эта группа изоморфна группе точечная группа ${displaystyle C_ {3v}}$ , состоящий из оси вращения третьего порядка и трех вертикальных зеркальных плоскостей. Группы имеют двумерное неприводимое представление (л = 2). В случае $S 3$ обычно обозначают это представление Молодая картина ${displaystyle lambda = [2,1]}$ а в случае ${displaystyle C_ {3v}}$ обычно пишут ${displaystyle lambda = E}$ . В обоих случаях представление состоит из следующих шести вещественных матриц, каждая из которых представляет один элемент группы:^[2]

{displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} quad {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} quad {egin {pmatrix} - {frac {1} {2}} & {frac {sqrt {3}} {2}} {frac {sqrt {3}} {2}} & {frac {1} {2}} end {pmatrix}} quad {egin {pmatrix} - {frac {1} {2}} & - {frac {sqrt {3}} {2}} - {frac {sqrt {3}} {2}} & {frac {1} {2}} end {pmatrix} } quad {egin {pmatrix} - {frac {1} {2}} & {frac {sqrt {3}} {2}} - {frac {sqrt {3}} {2}} & - {frac {1 } {2}} end {pmatrix}} quad {egin {pmatrix} - {frac {1} {2}} & - {frac {sqrt {3}} {2}} {frac {sqrt {3}} {2}} & - {гидроразрыв {1} {2}} end {pmatrix}}}

Нормализация элемента (1,1):

{displaystyle sum _ {Rin G} ^ {6}; Gamma (R) _ {11} ^ {*}; Gamma (R) _ {11} = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} + left (- - {frac {1} {2}} ight) ^ {2} + left (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} + left (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} + left (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} = 3.}

Таким же образом можно показать нормализацию других матричных элементов: (2,2), (1,2) и (2,1). Ортогональность элементов (1,1) и (2,2) :

{displaystyle sum _ {Rin G} ^ {6}; Gamma (R) _ {11} ^ {*}; Gamma (R) _ {22} = 1 ^ {2} + (1) (- 1) + left (- {frac {1} {2}} ight) left ({frac {1} {2}} ight) + left (- {frac {1} {2}} ight) left ({frac {1} {2 }} ight) + left (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} + left (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} = 0.}

Аналогичные соотношения выполняются для ортогональности элементов (1,1) и (1,2) и т. Д. На примере легко проверяется, что все суммы соответствующих матричных элементов обращаются в нуль из-за ортогональности данного неприводимого представления тождественному представлению.

Прямые последствия

В след матрицы представляет собой сумму диагональных матричных элементов,

{displaystyle operatorname {Tr} {ig (} Gamma (R) {ig)} = sum _ {m = 1} ^ {l} Gamma (R) _ {mm}.}

Коллекция следов - это персонаж ${displaystyle chi Equiv {имя оператора {Tr} {ig (} Gamma (R) {ig)}; |; Rin G}}$ представительства. Часто пишут для следа матрицы в неприводимом представлении с характером ${displaystyle chi ^ {(лямбда)}}$

{displaystyle chi ^ {(lambda)} (R) эквивалентное имя оператора {Tr} left (Gamma ^ {(lambda)} (R) ight).}

В этих обозначениях мы можем написать несколько символьных формул:

{displaystyle sum _ {Rin G} ^ {| G |} chi ^ {(lambda)} (R) ^ {*}, chi ^ {(mu)} (R) = delta _ {lambda mu} | G |, }

что позволяет нам проверить, является ли представление неприводимым. (Формула означает, что строки в любой таблице символов должны быть ортогональными векторами.) И

{displaystyle sum _ {Rin G} ^ {| G |} chi ^ {(lambda)} (R) ^ {*}, chi (R) = n ^ {(lambda)} | G |,}

что помогает нам определить, как часто неприводимое представление ${displaystyle Gamma ^ {(лямбда)}}$ содержится в приводимом представлении ${displaystyle Gamma,}$ с характером ${displaystyle chi (R)}$ .

Например, если

{displaystyle n ^ {(лямбда)}, | G | = 96}

и порядок группы

{displaystyle | G | = 24,}

затем сколько раз ${displaystyle Gamma ^ {(лямбда)},}$ содержится в данномсводимый представление ${displaystyle Gamma,}$ является

{displaystyle n ^ {(лямбда)} = 4 ,.}

Видеть Теория характера для получения дополнительной информации о групповых персонажах.

Компактные группы

Обобщение соотношений ортогональности с конечных групп на компактные группы (которые включают компактные группы Ли, такие как SO (3)) в основном просто: Заменим суммирование по группе интегрированием по группе.

Каждая компактная группа ${displaystyle G}$ имеет уникальный биинвариантный Мера Хаара, так что объем группы равен 1. Обозначим эту меру через ${displaystyle dg}$ . Позволять ${displaystyle (pi ^ {alpha})}$ - полный набор неприводимых представлений ${displaystyle G}$ , и разреши ${displaystyle phi _ {v, w} ^ {alpha} (g) = langle v, pi ^ {alpha} (g) wangle}$ быть матричный коэффициент представительства ${displaystyle pi ^ {alpha}}$ . Соотношения ортогональности можно сформулировать в двух частях:

1) Если ${displaystyle pi ^ {alpha} cong pi ^ {eta}}$ тогда

{displaystyle int _ {G} phi _ {v, w} ^ {alpha} (g) phi _ {v ', w'} ^ {eta} (g) dg = 0}

2) Если ${displaystyle {e_ {i}}}$ является ортонормированный базис представительского пространства ${displaystyle pi ^ {alpha}}$ тогда

{displaystyle int _ {G} phi _ {e_ {i}, e_ {j}} ^ {alpha} (g) {overline {phi _ {e_ {m}, e_ {n}} ^ {alpha} (g) }} dg = delta _ {i, m} delta _ {j, n} {frac {1} {d ^ {alpha}}}}

куда ${displaystyle d ^ {alpha}}$ это размер ${displaystyle pi ^ {alpha}}$ . Эти отношения ортогональности и тот факт, что все представления имеют конечные размеры, являются следствием Теорема Питера – Вейля.

Пример SO (3)

Примером группы параметров с r = 3 является группа матриц SO (3), состоящая из всех ортогональных матриц размером 3 x 3 с единичным определителем. Возможная параметризация этой группы в терминах углов Эйлера: ${displaystyle mathbf {x} = (альфа, эта, гамма)}$ (см., например, в этой статье явный вид элемента SO (3) в терминах углов Эйлера). Границы ${displaystyle 0leq alpha, gamma leq 2pi}$ и ${displaystyle 0leq eta leq pi}$ .

Не только рецепт расчета элемента объема ${displaystyle omega (mathbf {x}), dx_ {1} dx_ {2} cdots dx_ {r}}$ зависит от выбранных параметров, но также и от конечного результата, т. е. от аналитического вида весовой функции (меры) ${displaystyle omega (mathbf {x})}$ .

Например, параметризация SO (3) углами Эйлера дает вес ${displaystyle omega (alpha, eta, gamma) = грех! eta ,,}$ а параметризация n, ψ дает вес ${displaystyle omega (psi, heta, phi) = 2 (1-cos psi) грех! heta,}$ с ${displaystyle 0leq psi leq pi, ;; 0leq phi leq 2pi, ;; 0leq heta leq pi.}$

Можно показать, что неприводимые матричные представления компактных групп Ли конечномерны и могут быть выбраны унитарными:

{displaystyle Gamma ^ {(lambda)} (R ^ {- 1}) = Gamma ^ {(lambda)} (R) ^ {- 1} = Gamma ^ {(lambda)} (R) ^ {dagger} quad { hbox {with}} quad Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {mn} ^ {dagger} Equiv Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nm} ^ {*}.}.}

Со сокращенной записью

{displaystyle Gamma ^ {(lambda)} (mathbf {x}) = Gamma ^ {(lambda)} {Big (} R (mathbf {x}) {Big)}}

соотношения ортогональности принимают вид

{displaystyle int _ {x_ {1} ^ {0}} ^ {x_ {1} ^ {1}} cdots int _ {x_ {r} ^ {0}} ^ {x_ {r} ^ {1}}; Гамма ^ {(лямбда)} (mathbf {x}) _ {nm} ^ {*} Гамма ^ {(mu)} (mathbf {x}) _ {n'm '}; omega (mathbf {x}) dx_ {1} cdots dx_ {r}; = delta _ {lambda mu} delta _ {nn '} delta _ {mm'} {frac {| G |} {l_ {lambda}}},}

с объемом группы:

{displaystyle | G | = int _ {x_ {1} ^ {0}} ^ {x_ {1} ^ {1}} cdots int _ {x_ {r} ^ {0}} ^ {x_ {r} ^ { 1}} omega (mathbf {x}) dx_ {1} cdots dx_ {r}.}

В качестве примера отметим, что неприводимые представления SO (3) являются D-матрицы Вигнера ${displaystyle D ^ {ell} (альфа-эта гамма)}$ , которые имеют размер ${displaystyle 2ell +1}$ . С

{displaystyle | mathrm {SO} (3) | = int _ {0} ^ {2pi} dalpha int _ {0} ^ {pi} sin! eta, d eta int _ {0} ^ {2pi} dgamma = 8pi ^ {2},}

они удовлетворяют

{displaystyle int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {pi} int _ {0} ^ {2pi} D ^ {ell} (альфа-эта гамма) _ {nm} ^ {*}; D ^ {ell '} (alpha eta gamma) _ {n'm'}; грех! eta, dalpha, d eta, dgamma = delta _ {ell ell '} delta _ {nn'} delta _ {mm '} {frac {8pi ^ {2}} {2ell +1}}.}

Примечания

^ Конечность ${displaystyle l_ {lambda}}$ следует из того, что любое неприводимое представление конечной группы грамм содержится в регулярное представительство.
^ Этот выбор не уникален, любое преобразование ортогонального подобия, примененное к матрицам, дает допустимое неприводимое представление.