Направленная статистика - Directional statistics

Направленная статистика (также круговая статистика или же сферическая статистика) является субдисциплиной статистика это касается направления (единичные векторы в р^п), топоры (линии через происхождение в р^п) или же вращения в р^п. В более общем плане направленная статистика имеет дело с наблюдениями на компактных Римановы многообразия.

Общая форма белок можно параметризовать как последовательность точек на устройстве сфера. Показаны два вида сферического гистограмма таких точек для большого набора белковых структур. Статистическая обработка таких данных относится к сфере направленной статистики.^[1]

Тот факт, что 0 градусы и 360 градусов - это одинаковые углы, поэтому, например, 180 градусов не является разумным иметь в виду 2 градуса и 358 градусов, является одной иллюстрацией того, что для анализа некоторых типов данных (в данном случае угловых данных) требуются специальные статистические методы. Другие примеры данных, которые можно рассматривать как направленные, включают статистику, включающую временные периоды (например, время дня, недели, месяц, год и т. Д.), Направления по компасу, двугранные углы в молекулах, ориентациях, вращениях и так далее.

Круговые и многомерные распределения

Было предложено, чтобы этот раздел был расколоть в другую статью под названием Круговое распределение. (Обсуждать) (Сентябрь 2020 г.)

Любой функция плотности вероятности (pdf) ${ displaystyle p (x)}$ на линии может быть "завернутый" по окружности круга единичного радиуса.^[2] То есть pdf завернутой переменной

${ displaystyle theta = x_ {w} = x { bmod {2}} pi in (- pi, pi]}$

является

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} {p ( theta +2 pi k)}.}$

Эту концепцию можно расширить до многомерного контекста путем расширения простой суммы до ряда ${ displaystyle F}$ суммы, охватывающие все измерения в пространстве функций:

${ displaystyle p_ {w} ({ vec { theta}}) = sum _ {k_ {1} = - infty} ^ { infty} cdots sum _ {k_ {F} = - infty } ^ { infty} {p ({ vec { theta}} + 2 pi k_ {1} mathbf {e} _ {1} + dots +2 pi k_ {F} mathbf {e} _ {F})}}$

куда ${ Displaystyle mathbf {е} _ {к} = (0, точки, 0,1,0, точки, 0) ^ { mathsf {T}}}$ это ${ displaystyle k}$th евклидов базисный вектор.

В следующих разделах показаны некоторые соответствующие круговые распределения.

круговое распределение фон Мизеса

В распределение фон Мизеса представляет собой круговое распределение, которое, как и любое другое круговое распределение, можно рассматривать как обертывание определенного линейного распределения вероятностей по кругу. Основное линейное распределение вероятностей для распределения фон Мизеса математически трудноразрешимо; однако для статистических целей нет необходимости иметь дело с лежащим в основе линейным распределением. Распределение фон Мизеса имеет двоякую полезность: оно является наиболее математически управляемым из всех круговых распределений, позволяющим более простой статистический анализ, и оно является близким приближением к завернутый нормально распределение, которое, как и линейное нормальное распределение, важно, потому что оно является предельным случаем для суммы большого количества малых угловых отклонений. Фактически, распределение фон Мизеса часто называют «круговым нормальным» распределением из-за его простоты использования и его тесной связи с обернутым нормальным распределением (Fisher, 1993).

PDF-файл распределения фон Мизеса:

${ Displaystyle е ( тета; му, каппа) = { гидроразрыва {е ^ { каппа соз ( тета - му)}} {2 пи I_ {0} ( каппа)}}}$

куда ${ displaystyle I_ {0}}$ это модифицированный Функция Бесселя порядка 0.

Круговое равномерное распределение

Функция плотности вероятности (pdf) круговое равномерное распределение дан кем-то

${ Displaystyle U ( theta) = 1 / (2 pi). ,}$

Его также можно рассматривать как ${ displaystyle kappa = 0}$ фон Мизеса выше.

Обернутое нормальное распределение

PDF-файл обернутое нормальное распределение (WN) это:

${ displaystyle WN ( theta; mu, sigma) = { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} exp left [{ frac {- ( theta - mu -2 pi k) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right] = { frac {1} {2 pi}} vartheta left ({ frac { theta - mu} {2 pi}}, { frac {i sigma ^ {2}} {2 pi}} right)}$

где μ и σ - среднее и стандартное отклонение развернутого распределения соответственно и ${ Displaystyle vartheta ( тета, тау)}$ это Тета-функция Якоби:

${ displaystyle vartheta ( theta, tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}}}$ куда ${ Displaystyle ш эквив е ^ {я пи тета}}$ и ${ Displaystyle д экв е ^ {я пи тау}.}$

Обернутое распределение Коши

PDF-файл обернутое распределение Коши (WC) это:

${ displaystyle WC ( theta; theta _ {0}, gamma) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { frac { gamma} { pi ( gamma ^ {2 } + ( theta +2 pi n- theta _ {0}) ^ {2})}} = { frac {1} {2 pi}} , , { frac { sinh gamma } { cosh gamma - cos ( theta - theta _ {0})}}}$

куда ${ displaystyle gamma}$ - коэффициент масштабирования и ${ displaystyle theta _ {0}}$ это положение пика.

Распределение Леви в оболочке

PDF-файл обернутое распределение Леви (WL) это:

${ displaystyle f_ {WL} ( theta; mu, c) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { sqrt { frac {c} {2 pi}}} , { frac {e ^ {- c / 2 ( theta +2 pi n- mu)}} {( theta +2 pi n- mu) ^ {3/2}}}}$

где значение слагаемого принимается равным нулю при ${ displaystyle theta +2 pi n- mu leq 0}$, ${ displaystyle c}$ - коэффициент масштабирования и ${ displaystyle mu}$ - параметр местоположения.

Распределения на многомерных многообразиях

Наборы из трех точек, взятые из различных распределений Кента на сфере.

Также существуют дистрибутивы на двумерная сфера (такой как Кент распределение^[3]), N-мерная сфера (в распределение фон Мизеса – Фишера^[4]) или тор (в двумерное распределение фон Мизеса^[5]).

В матрица распределения фон Мизеса – Фишера это распределение на Коллектор Штифеля, и может использоваться для построения распределений вероятностей по матрицы вращения.^[6]

В Распределение Бингема распределение по осям в N размеров или, что то же самое, над точками на (N - 1) -мерная сфера с выделенными антиподами.^[7] Например, если N = 2, оси представляют собой ненаправленные прямые, проходящие через начало координат на плоскости. В этом случае каждая ось разрезает единичный круг на плоскости (которая является одномерной сферой) в двух точках, которые являются антиподами друг друга. За N = 4, распределение Бингема является распределением по пространству единиц кватернионы. Поскольку единичный кватернион соответствует матрице вращения, распределение Бингема для N = 4 можно использовать для построения вероятностных распределений в пространстве вращений, как и матричное распределение фон Мизеса – Фишера.

Эти дистрибутивы, например, используются в геология,^[8] кристаллография^[9] и биоинформатика.^[1][10][11]

Моменты

Исходные векторные (или тригонометрические) моменты кругового распределения определяются как

${ displaystyle m_ {n} = operatorname {E} (z ^ {n}) = int _ { Gamma} P ( theta) z ^ {n} , d theta}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ любой интервал длины ${ displaystyle 2 pi}$, ${ Displaystyle Р ( тета)}$ - PDF кругового распределения, а ${ Displaystyle г = е ^ {я тета}}$. Поскольку интеграл ${ Displaystyle Р ( тета)}$ равна единице, а интервал интегрирования конечен, отсюда следует, что моменты любого кругового распределения всегда конечны и хорошо определены.

Аналогично определяются примерные моменты:

${ displaystyle { overline {m}} _ {n} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} z_ {i} ^ {n}.}$

Результирующий вектор генеральной совокупности, длина и средний угол определяются по аналогии с соответствующими параметрами выборки.

${ displaystyle rho = m_ {1}}$

${ Displaystyle R = | m_ {1} |}$

${ displaystyle theta _ {n} = operatorname {Arg} (m_ {n}).}$

Кроме того, длины высших моментов определяются как:

${ Displaystyle R_ {n} = | m_ {n} |}$

тогда как угловые части высших моментов просто ${ Displaystyle (п тета _ {п}) { bmod {2}} pi}$. Длина всех моментов будет находиться в диапазоне от 0 до 1.

Меры местоположения и распространения

Различные меры местоположения и распространения могут быть определены как для совокупности, так и для выборки, взятой из этой совокупности.^[12] Наиболее распространенной мерой местоположения является среднее круговое. Круговое среднее по генеральной совокупности - это просто первый момент распределения, а среднее по выборке - это первый момент выборки. Среднее значение выборки будет служить объективной оценкой среднего значения генеральной совокупности.

Когда данные сконцентрированы, медиана и мода могут быть определены по аналогии с линейным случаем, но для более разрозненных или многомодальных данных эти концепции бесполезны.

Наиболее распространенные меры кругового распространения:

• В круговая дисперсия. Для выборки круговая дисперсия определяется как:

${ displaystyle { overline { operatorname {Var} (z)}} = 1 - { overline {R}} ,}$

и для населения

${ Displaystyle OperatorName {Var} (г) = 1-R ,}$

Оба будут иметь значения от 0 до 1.

• В круговое стандартное отклонение

${ Displaystyle S (z) = { sqrt { ln (1 / R ^ {2})}} = { sqrt {-2 ln (R)}} ,}$

${ displaystyle { overline {S}} (z) = { sqrt { ln (1 / { overline {R}} ^ {2})}} = { sqrt {-2 ln ({ overline {Р}})}},}$

со значениями от 0 до бесконечности. Это определение стандартного отклонения (а не квадратного корня из дисперсии) полезно, потому что для обернутого нормального распределения оно является оценкой стандартного отклонения основного нормального распределения. Следовательно, это позволит стандартизировать круговое распределение, как и в линейном случае, для малых значений стандартного отклонения. Это также относится к распределению фон Мизеса, которое близко аппроксимирует свернутое нормальное распределение. Обратите внимание, что для небольших ${ Displaystyle S (z)}$, у нас есть ${ Displaystyle S (z) ^ {2} = 2 operatorname {Var} (z)}$.

• В круговая дисперсия

${ displaystyle delta = { frac {1-R_ {2}} {2R ^ {2}}}}$

${ displaystyle { overline { delta}} = { frac {1 - {{ overline {R}} _ {2}}} {2 { overline {R}} ^ {2}}}}$

со значениями от 0 до бесконечности. Эта мера разброса полезна при статистическом анализе дисперсии.

Распределение среднего

Учитывая набор N измерения ${ Displaystyle Z_ {п} = е ^ {я тета _ {п}}}$ среднее значение z определяется как:

${ displaystyle { overline {z}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}$

что может быть выражено как

${ displaystyle { overline {z}} = { overline {C}} + я { overline {S}}}$

куда

${ displaystyle { overline {C}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} cos ( theta _ {n}) { text {и}} { overline {S}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} sin ( theta _ {n})}$

или, альтернативно, как:

${ displaystyle { overline {z}} = { overline {R}} e ^ {я { overline { theta}}}}$

куда

${ displaystyle { overline {R}} = { sqrt {{ overline {C}} ^ {2} + { overline {S}} ^ {2}}} { text {and}} { overline { theta}} = arctan ({ overline {S}}, { overline {C}}).}$

Распределение среднего (${ displaystyle { overline { theta}}}$) для круглого pdf п(θ) будут выданы:

${ displaystyle P ({ overline {C}}, { overline {S}}) , d { overline {C}} , d { overline {S}} = P ({ overline {R} }, { overline { theta}}) , d { overline {R}} , d { overline { theta}} = int _ { Gamma} cdots int _ { Gamma} prod _ {n = 1} ^ {N} left [P ( theta _ {n}) , d theta _ {n} right]}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ находится на любом интервале длины ${ displaystyle 2 pi}$ и интеграл подчиняется ограничению, что ${ displaystyle { overline {S}}}$ и ${ displaystyle { overline {C}}}$ постоянны, или, альтернативно, что ${ displaystyle { overline {R}}}$ и ${ displaystyle { overline { theta}}}$ постоянны.

Расчет среднего для большинства круговых распределений аналитически невозможен, и для проведения дисперсионного анализа необходимы численные или математические приближения.^[13]

В Центральная предельная теорема может применяться к распределению выборочных средств. (основная статья: Центральная предельная теорема для направленной статистики ). Это можно показать^[13] что распределение ${ displaystyle [{ overline {C}}, { overline {S}}]}$ приближается к двумерное нормальное распределение в пределе большого размера выборки.

Проверка согласия и значимости

Для циклических данных - (например, равномерно ли они распределены):

• Тест Рэлея для унимодального кластера
• Тест Койпера для возможно мультимодальных данных.

Смотрите также

• Комплексное нормальное распределение
• Ямартино метод
• Распространение в оболочке

Рекомендации

Книги по направленной статистике

• Бачелет, Э. Циркулярная статистика в биологии, Академик Пресс, Лондон, 1981. ISBN  0-12-081050-6.
• Фишер, Н.И., Статистический анализ циркулярных данных, Издательство Кембриджского университета, 1993. ISBN  0-521-35018-2
• Фишер, Н.И., Льюис, Т., Эмблтон, Б.Дж. Статистический анализ сферических данных, Издательство Кембриджского университета, 1993. ISBN  0-521-45699-1
• Джаммаламадака С. Рао и СенГупта А. Темы циркулярной статистики, World Scientific, 2001. ISBN  981-02-3778-2
• Мардия, К.В. и Юпп П., Направленная статистика (2-е издание), John Wiley and Sons Ltd., 2000. ISBN  0-471-95333-4
• Лей, К. и Вердебу, Т., Современная направленная статистика, CRC Press Taylor & Francis Group, 2017. ISBN  978-1-4987-0664-3