Основа Шевалле - Chevalley basis

В математике Основа Шевалле для просто сложный Алгебра Ли это основа построенный Клод Шевалле с тем свойством, что все структурные константы целые числа. Шевалле использовал эти основы для создания аналогов Группы Ли над конечные поля, называется Группы Шевалле. В основе Шевалле лежит Картан-Вейль основы, но с другой нормализацией.

Генераторы группы Ли разбиваются на генераторы ЧАС и E проиндексировано простым корни и их негативы ${displaystyle pm alpha _ {i}}$ . Базис Картана-Вейля можно записать как

{displaystyle [H_ {i}, H_ {j}] = 0}

{displaystyle [H_ {i}, E_ {alpha}] = alpha _ {i} E_ {alpha}}

Определение двойной корень или же корут из ${displaystyle alpha}$ в качестве

{displaystyle alpha ^ {vee} = {frac {2alpha} {(alpha, alpha)}}}

Можно выполнить изменение основы, чтобы определить

{displaystyle H_ {alpha _ {i}} = (alpha _ {i} ^ {vee}, H)}

В Целые числа Картана находятся

{displaystyle A_ {ij} = (alpha _ {i}, alpha _ {j} ^ {vee})}

Получающиеся отношения между генераторами следующие:

{displaystyle [H_ {alpha _ {i}}, H_ {alpha _ {j}}] = 0}

{displaystyle [H_ {alpha _ {i}}, E_ {alpha _ {j}}] = A_ {ji} E_ {alpha _ {j}}}

{displaystyle [E _ {- alpha _ {i}}, E_ {alpha _ {i}}] = H_ {alpha _ {i}}}

{displaystyle [E_ {eta}, E_ {gamma}] = pm (p + 1) E_ {eta + gamma}}

где в последнем соотношении ${displaystyle p}$ - наибольшее натуральное число такое, что ${displaystyle gamma -p eta}$ является корнем, и мы считаем ${displaystyle E_ {eta + gamma} = 0}$ если ${displaystyle eta + gamma}$ это не рут.

Для определения знака в последнем соотношении фиксируется порядок корней, учитывающий сложение, т. Е. Если ${displaystyle eta Prec gamma}$ тогда ${displaystyle eta + alpha pre gamma + alpha}$ при условии, что все четыре являются корнями. Затем мы звоним ${displaystyle (eta, gamma)}$ ан особенная пара корней, если они оба положительны и ${displaystyle eta}$ минимален среди всех ${displaystyle eta _ {0}}$ которые встречаются в парах положительных корней ${displaystyle (eta _ {0}, gamma _ {0})}$ удовлетворение ${displaystyle eta _ {0} + gamma _ {0} = eta + gamma}$ . Знак в последнем соотношении может быть выбран произвольно всякий раз, когда ${displaystyle (eta, gamma)}$ это особенная пара корней. Затем это определяет знаки для всех оставшихся пар корней.

Рекомендации

Картер, Роджер В. (1993). Конечные группы типа лжи: классы сопряженности и сложные характеры. Библиотека Wiley Classics. Чичестер: Вайли. ISBN 978-0-471-94109-5.
Шевалле, Клод (1955). "Сур определенные группы простые". Математический журнал Тохоку (На французском). 7 (1–2): 14–66. Дои:10.2748 / tmj / 1178245104. МИСТЕР 0073602. Zbl 0066.01503.
Жак, Титс (1966). "Sur les constantes de structure et le teorème d'existence des algèbres de Lie semi-simples". Публикации Mathématiques de l'IHÉS (На французском). 31: 21–58. МИСТЕР 0214638. Zbl 0145.25804.

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.