Приносит кривую - Brings curve - Wikipedia

Раннее изображение кривой Бринга в виде напольной мозаики. Паоло Уччелло, 1430

В математика, Кривая Принесения (также называемый Принесите поверхность) это изгиб задается уравнениями

${ displaystyle v + w + x + y + z = v ^ {2} + w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = v ^ {3} + w ^ {3} + x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 0.}$

Он был назван Кляйн (2003), с.157) после Эрланд Сэмюэл Бринг который изучал аналогичную конструкцию в 1786 году в Промоушнсрифте, представленном Лундский университет.

В группа автоморфизмов кривой - это симметричная группа S₅ из порядок 120, предоставленный перестановки из 5 координат. Это наибольшая возможная группа автоморфизмов комплексной кривой рода 4.

Кривая может быть реализована как тройное покрытие сферы, разветвленной в 12 точках, и является Риманова поверхность связаны с малый звездчатый додекаэдр. Он имеет род 4. Полная группа симметрий (включая отражения) является прямым произведением ${ Displaystyle S_ {5} times mathbb {Z} _ {2}}$, который имеет порядок 240.

Фундаментальная сфера и систола

Кривая Бринга может быть получена как риманова поверхность путем сопоставления сторон гиперболической икосагон (видеть фундаментальный многоугольник ). Идентификационный образец приведен на прилагаемой диаграмме. Икосагон (площадью ${ displaystyle 12 pi}$, посредством Теорема Гаусса-Бонне ) можно разбить на 240 (2,4,5) треугольников. Действия, которые переносят один из этих треугольников в другой, дают полную группу автоморфизмов поверхности (включая отражения). Не считая отражений, мы получаем 120 автоморфизмов, упомянутых во введении. Обратите внимание, что 120 меньше 252, максимального числа сохраняющих ориентацию автоморфизмов, разрешенных для поверхностей рода 4, по формуле Теорема об автоморфизме Гурвица. Следовательно, поверхность Бринга не является Поверхность Гурвица. Это также говорит нам о том, что не существует поверхности Гурвица рода 4.

Основной икосогон для поверхности Бринга с боковыми обозначениями.

Полная группа симметрий имеет следующее представление:

${ displaystyle langle r, , s, , t , | , r ^ {5} = s ^ {2} = t ^ {2} = rtrt = stst = (rs) ^ {4} = ( sr ^ {3} sr ^ {2}) ^ {2} = e rangle}$,

куда ${ displaystyle e}$ это тождественное действие, ${ displaystyle r}$ вращение порядка 5 вокруг центра основного многоугольника, ${ displaystyle s}$ - это вращение порядка 2 в вершине, в которой 4 (2,4,5) треугольника пересекаются в мозаике, и ${ displaystyle t}$ отражение в реальной линии. Из этой презентации информация о линейном теория представлений группы симметрии поверхности Бринга можно вычислить, используя ЗАЗОР. В частности, группа имеет четыре одномерных, четыре четырехмерных, четыре пятимерных и два шестимерных неприводимых представления, и мы имеем

${ displaystyle 4 (1 ^ {2}) + 4 (4 ^ {2}) + 4 (5 ^ {2}) + 2 (6 ^ {2}) = 4 + 64 + 100 + 72 = 240}$

как и ожидалось.

В систола поверхности имеет длину

${ displaystyle 12 sinh ^ {- 1} left ({ tfrac {1} {2}} { sqrt {{ tfrac {1} {2}} ({ sqrt {5}} - 1)} } right) приблизительно 4.60318.}$

Аналогично Кляйн квартика, Поверхность Бринга не максимизирует длину систолы среди компактных римановых поверхностей в своей топологической категории (то есть поверхностей одного рода), несмотря на максимизацию размера группы автоморфизмов. Систола предположительно максимизируется поверхностью, обозначенной как M4 в (Шмутц 1993 ). Длина систолы M4 составляет

${ displaystyle 2 cosh ^ {- 1} left ({ tfrac {1} {2}} (5 + 3 { sqrt {3}}) right) приблизительно 4,6245,}$

и имеет кратность 36.

Спектральная теория

Мало что известно о спектральная теория поверхности Бринга, однако он потенциально может представлять интерес в этой области. В Поверхность Больца и квартика Клейна имеют самые большие группы симметрии среди компактных римановых поверхностей постоянной отрицательной кривизны в родах 2 и 3 соответственно, и поэтому было высказано предположение, что они максимизируют первое положительное собственное значение в спектре Лапласа. Существуют убедительные численные доказательства, подтверждающие эту гипотезу, особенно в случае поверхности Больца, хотя обеспечение строгого доказательства все еще остается открытой проблемой. Следуя этой схеме, можно разумно предположить, что поверхность Бринга максимизирует первое положительное собственное значение лапласиана (среди поверхностей в его топологическом классе).

Смотрите также

• Поверхность Больца
• Кляйн квартика
• Поверхность Macbeath
• Первая тройка Гурвица

Рекомендации

• Принеси, Эрланд Самуэль; Соммелиус, Свен Густав (1786), Meletemata quædam mathematica около трансформации æquationem algebraicarum, Promotionschrift, Лундский университет
• Эдж, У. Л. (1978), "Кривая Бринга", Журнал Лондонского математического общества, 18 (3): 539–545, Дои:10.1112 / jlms / s2-18.3.539, ISSN  0024-6107, МИСТЕР  0518240
• Кляйн, Феликс (2003) [1884], Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени, Dover Phoenix Editions, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-49528-6, МИСТЕР  0080930
• Riera, G .; Родригес, Р. (1992), "Матрицы периодов кривой Бринга", Pacific J. Math., 154 (1): 179–200, Дои:10.2140 / pjm.1992.154.179, МИСТЕР  1154738
• Шмутц П. (1993), "Римановы поверхности с кратчайшей геодезической максимальной длины", GAFA, 3 (6): 564–631, Дои:10.1007 / BF01896258CS1 maint: ref = harv (связь)
• Вебер, Матиас (2005), «Малый звездчатый додекаэдр Кеплера как риманова поверхность», Pacific J. Math., 220: 167–182, Дои:10.2140 / pjm.2005.220.167