Z-группа - Z-group

В математика, особенно в районе алгебра известный как теория групп, период, термин Z-группа относится к ряду различных типов группы:

• в изучении конечные группы, а Z-группа конечная группа, Силовские подгруппы все циклический.
• в изучении бесконечные группы, а Z-группа группа, которая обладает очень общей формой центральная серия.
• в изучении упорядоченные группы, а Z-группа или же ${ Displaystyle mathbb {Z}}$-группа дискретно упорядоченная абелева группа, фактор которой по минимальной выпуклой подгруппе делится. Такие группы элементарно эквивалентный к целым числам ${ Displaystyle ( mathbb {Z}, +, <)}$. Z-группы являются альтернативным представлением Арифметика пресбургера.
• изредка, (Z) -группа используется для обозначения Группа Цассенхаус, особый вид группа перестановок.

Группы, силовские подгруппы которых циклические

Использование: (Suzuki 1955 года ), (Бендер и Глауберман 1994, п. 2), МИСТЕР0409648, (Воненбургер 1976 ), (Челик 1976 )

При изучении конечные группы, а Z-группа конечная группа, Силовские подгруппы все циклический. Буква Z происходит от немецкого Зыклище и из их классификации в (Цассенхаус 1935 ). Во многих стандартных учебниках эти группы не имеют специального названия, кроме метациклические группы, но сегодня этот термин используется более широко. Видеть метациклическая группа для получения дополнительной информации об общем современном определении, которое включает в себя нециклический п-группы; видеть (Холл мл. 1959, Чт. 9.4.3) для более строгого, классического определения, более тесно связанного с Z-группами.

Каждая группа, силовские подгруппы которой циклические, сама является метациклический, так сверхразрешимый. Фактически такая группа имеет циклический производная подгруппа с циклическим максимальным абелевым фактором. Такая группа имеет представление (Холл мл. 1959, Чт. 9.4.3):

${ displaystyle G (m, n, r) = langle a, b | a ^ {m} = b ^ {n} = 1, bab ^ {- 1} = a ^ {r} rangle}$, куда млн это порядок грамм(м,п,р), наибольший общий делитель, gcd ((р-1)п, м) = 1 и р^п ≡ 1 (мод м).

В теория характера Z-групп хорошо изучена (Челик 1976 ), как они есть мономиальные группы.

Производная длина Z-группы не превышает 2, поэтому Z-группы может быть недостаточно для некоторых применений. Обобщение, сделанное Холлом: А-группы, те группы с абелевский Силовские подгруппы. Эти группы ведут себя аналогично Z-группам, но могут иметь произвольно большую производную длину (Зал 1940 ). Еще одно обобщение за счет (Suzuki 1955 года ) обеспечивает большую гибкость силовской 2-подгруппы, включая двугранный и обобщенные группы кватернионов.

Группа с обобщенным центральным рядом

Использование: (Робинсон 1996 ), (Курош 1960 )

Определение центральная серия используется для Z-группа несколько технический. А серии из грамм это коллекция S подгрупп грамм, линейно упорядоченная по включению, такая, что для каждого грамм в грамм, подгруппы А_грамм = ∩ { N в S : грамм в N } и B_грамм = ∪ { N в S : грамм не в N } оба в S. А (обобщенный) центральная серия из грамм серия такая, что каждый N в S нормально в грамм и такой, что для каждого грамм в грамм, частное А_грамм/B_грамм содержится в центре грамм/B_грамм. А Z-группа - это группа с таким (обобщенным) центральным рядом. Примеры включают гиперцентральные группы чьи трансфинитные верхний центральный ряд образуют такой центральный ряд, а также гипоцентральные группы трансфинитный нижний центральный ряд которого образуют такой центральный ряд (Робинсон 1996 ).

Специальные 2-транзитивные группы

Использование: (Сузуки 1961 )

А (Z) -группа группа, честно представленная как дважды транзитивная группа подстановок в котором ни один неидентификационный элемент фиксирует более двух точек. А (ZT) -группа является (Z) -группой нечетной степени и не является Группа Фробениуса, это Группа Цассенхаус нечетной степени, также известная как одна из групп PSL (2,2^k+1) или же Sz (2^2k+1), за k любое положительное целое число (Сузуки 1961 ).

Рекомендации

• Бендер, Гельмут; Глауберман, Джордж (1994), Локальный анализ теоремы о нечетном порядке, Серия лекций Лондонского математического общества, 188, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-45716-3, МИСТЕР  1311244
• Челик, Оздем (1976), «О таблице характеров Z-групп», Mitteilungen aus dem Mathematischen Seminar Giessen: 75–77, ISSN  0373-8221, МИСТЕР  0470050
• Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп, Нью-Йорк: Macmillan, МИСТЕР  0103215
• Холл, Филипп (1940), «Построение разрешимых групп», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 182: 206–214, ISSN  0075-4102, МИСТЕР  0002877
• Курош, А. Г. (1960), Теория групп, Нью-Йорк: Челси, МИСТЕР  0109842
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94461-6
• Сузуки, Мичио (1955), «О конечных группах с циклическими силовскими подгруппами для всех нечетных простых чисел», Американский журнал математики, 77 (4): 657–691, Дои:10.2307/2372591, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372591, МИСТЕР  0074411
• Сузуки, Мичио (1961), «Конечные группы с нильпотентными централизаторами», Труды Американского математического общества, 99 (3): 425–470, Дои:10.2307/1993556, ISSN  0002-9947, JSTOR  1993556, МИСТЕР  0131459
• Воненбургер, Мария Х. (1976), "Обобщение Z-групп", Журнал алгебры, 38 (2): 274–279, Дои:10.1016/0021-8693(76)90219-2, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0393229
• Цассенхаус, Ганс (1935), "Über endliche Fastkörper", Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург (на немецком), 11: 187–220, Дои:10.1007 / BF02940723