Гипотеза Виттена - Witten conjecture

В алгебраическая геометрия, то Гипотеза Виттена это предположение о номера перекрестков стабильных классов на пространство модулей кривых, представлен Эдвард Виттен в газете Виттен (1991 ) и обобщены в Виттен (1993). Первоначальная гипотеза Виттена была доказана Максим Концевич в газете Концевич (1992).

Виттен мотивировал это предположение тем, что две разные модели двумерной квантовая гравитация должна иметь такую же функцию разделения. Статистическая сумма для одной из этих моделей может быть описана в терминах чисел пересечения на стек модулей из алгебраические кривые, а функция распределения для другого - логарифм τ-функции KdV иерархия. Идентификация этих статистических сумм дает Виттену гипотезу о том, что некоторая производящая функция, образованная из чисел пересечения, должна удовлетворять дифференциальным уравнениям иерархии КдФ.

Заявление

Предположим, что M_{грамм,п} - набор модулей компактных римановых поверхностей рода грамм с п отдельные отмеченные точки Икс₁,...,Икс_п, и M_{грамм,п} это его компактификация Делиня – Мамфорда. Есть п линейные пакеты L_я на M_{грамм,п}, слой которого в точке набора модулей задается кокасательным пространством римановой поверхности в отмеченной точке Икс_я. Индекс пересечения 〈τ_d₁, ..., τ_{d_п}〉 - индекс пересечения Π c₁(L_я)^d_я на M_{грамм,п} где Σd_я = тусклыйM_{грамм,п} = 3грамм – 3 + п, и 0, если таковых нет грамм существует, где c₁ это первый Черн класс линейного пучка. Производящая функция Виттена

{ Displaystyle F (t_ {0}, t_ {1}, ldots) = sum langle tau _ {0} ^ {k_ {0}} tau _ {1} ^ {k_ {1}} cdots rangle prod _ {i geq 0} { frac {t_ {i} ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}} = { frac {t_ {0} ^ {3}} {6}} + { frac {t_ {1}} {24}} + { frac {t_ {0} t_ {2}} {24}} + { frac {t_ {1} ^ {2}} {24}} + { frac {t_ {0} ^ {2} t_ {3}} {48}} + cdots}

кодирует все индексы пересечения как свои коэффициенты.

Гипотеза Виттена утверждает, что статистическая сумма Z = exp F является τ-функцией для KdV иерархия, другими словами, он удовлетворяет некоторой серии дифференциальных уравнений в частных производных, соответствующих базису ${ Displaystyle {L _ {- 1}, L_ {0}, L_ {1}, ldots }}$ из Алгебра Вирасоро.

Доказательство

Концевич использовал комбинаторное описание пространств модулей в терминах ленточных графов, чтобы показать, что

{ displaystyle sum _ {d_ {1} + cdots + d_ {n} = 3g-3 + n} langle tau _ {d_ {1}}, ldots, tau _ {d_ {n}} rangle prod _ {1 leq i leq n} { frac {(2d_ {i} -1) !!} { lambda _ {i} ^ {2d_ {i} +1}}} = sum _ { Gamma in G_ {g, n}} { frac {2 ^ {- | X_ {0} |}} {| { text {Aut}} Gamma |}} prod _ {e in X_ {1}} { frac {2} { lambda (e)}}}

Здесь сумма справа превышает множество грамм_{грамм,п} ленточных графиков Икс компактных римановых поверхностей рода грамм с п отмеченные точки. Набор ребер е и точки Икс обозначаются Икс₀ и Икс₁. Функция λ рассматривается как функция от отмеченных точек до вещественных чисел и расширяется до краев ленточного графа, устанавливая λ ребра равным сумме λ в двух отмеченных точках, соответствующих каждой стороне края.

С точки зрения техники диаграмм Фейнмана это означает, что F(т₀, ...) является асимптотическим разложением

{ displaystyle log int exp (я { text {tr}} X ^ {3} / 6) d mu}

поскольку Λ стремится к бесконечности, где Λ и Χ положительно определенные N к N эрмитовые матрицы и т_я дан кем-то

{ displaystyle t_ {i} = { frac {- { text {tr}} Lambda ^ {- 1-2i}} {1 times 3 times 5 times cdots times (2i-1)} }}

а вероятностная мера μ на положительно определенных эрмитовых матрицах имеет вид

{ displaystyle d mu = c _ { Lambda} exp (- { text {tr}} X ^ {2} Lambda / 2) dX}

куда c_Λ - нормализующая постоянная. Эта мера обладает тем свойством, что

{ displaystyle int X_ {ij} X_ {kl} d mu = delta _ {il} delta _ {jk} { frac {2} { Lambda _ {i} + Lambda _ {j}} }}

откуда следует, что его разложение по диаграммам Фейнмана является выражением для F в виде ленточных графиков.

Из этого он вывел, что exp F является τ-функцией для иерархии КдФ, тем самым доказав гипотезу Виттена.

Обобщения

Гипотеза Виттена является частным случаем более общей связи между интегрируемые системы гамильтоновых уравнений в частных производных и геометрии некоторых семейств двумерных топологических теорий поля (аксиоматизированных в форме так называемых когомологических теорий поля Концевичем и Маниным), которые систематически исследовались и изучались Б. Дубровиным и Ю. Чжан, А. Гивенталь, К. Телеман и другие.

В Гипотеза Вирасоро является обобщением гипотезы Виттена.

Гипотеза Виттена - Witten conjecture

Содержание

Заявление

Доказательство

Обобщения

Рекомендации