Тодд класс - Todd class

В математика, то Тодд класс это определенная конструкция, которая теперь считается частью теории в алгебраическая топология из характеристические классы. Класс Тодда векторный набор можно определить с помощью теории Классы Черна, и встречается там, где существуют классы Черна, особенно в дифференциальная топология, теория комплексные многообразия и алгебраическая геометрия. Грубо говоря, класс Тодда действует как обратный классу Черна или стоит по отношению к нему как конормальный пучок делает для нормальный комплект.

Класс Тодда играет фундаментальную роль в обобщении классических Теорема Римана – Роха в более высокие измерения, в Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. и Теорема Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха..

История

Он назван в честь Дж. А. Тодд, который ввел частный случай этого понятия в алгебраическую геометрию в 1937 г., до того, как были определены классы Черна. Геометрическая идея иногда называется Класс Тодда-Эгера. Общее определение в высших измерениях связано с Фридрих Хирцебрух.

Определение

Чтобы определить класс Тодда ${ displaystyle operatorname {td} (E)}$ куда ${ displaystyle E}$ комплексное векторное расслоение на топологическое пространство ${ displaystyle X}$ , обычно можно ограничить определение случаем Сумма Уитни из линейные пакеты посредством общего приема теории характеристических классов Корни черна (он же принцип расщепления ). Для определения пусть

{ displaystyle Q (x) = { frac {x} {1-e ^ {- x}}} = 1 + { dfrac {x} {2}} + sum _ {i = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i-1} B_ {i}} {(2i)!}} x ^ {2i} = 1 + { dfrac {x} {2}} + { dfrac {x ^ {2}} {12}} - { dfrac {x ^ {4}} {720}} + cdots}

быть формальный степенной ряд с тем свойством, что коэффициент ${ Displaystyle х ^ {п}}$ в ${ Displaystyle Q (х) ^ {п + 1}}$ равно 1, где ${ displaystyle B_ {i}}$ обозначает ${ displaystyle i}$ -го Число Бернулли. Рассмотрим коэффициент при ${ displaystyle x ^ {j}}$ в продукте

{ Displaystyle prod _ {я = 1} ^ {м} Q ( бета _ {я} х) }

для любого ${ displaystyle m> j}$ . Это симметрично в ${ displaystyle beta _ {я}}$ s и однородный по весу ${ displaystyle j}$ : так можно выразить как полином ${ displaystyle operatorname {td} _ {j} (p_ {1}, ldots, p_ {j})}$ в элементарные симметричные функции ${ displaystyle p}$ из ${ displaystyle beta _ {я}}$ с. потом ${ displaystyle operatorname {td} _ {j}}$ определяет Полиномы Тодда: они образуют мультипликативная последовательность с ${ displaystyle Q}$ как характеристический силовой ряд.

Если ${ displaystyle E}$ имеет ${ displaystyle alpha _ {я}}$ как его Корни черна, то Тодд класс

{ Displaystyle OperatorName {td} (E) = prod Q ( alpha _ {i})}

который должен быть вычислен в кольцо когомологий из ${ displaystyle X}$ (или в его дополнении, если кто-то хочет рассматривать бесконечномерные многообразия).

Класс Тодда может быть явно задан как формальный степенной ряд в классах Черна следующим образом:

{ displaystyle operatorname {td} (E) = 1 + { frac {c_ {1}} {2}} + { frac {c_ {1} ^ {2} + c_ {2}} {12}} + { frac {c_ {1} c_ {2}} {24}} + { frac {-c_ {1} ^ {4} + 4c_ {1} ^ {2} c_ {2} + c_ {1} c_ {3} + 3c_ {2} ^ {2} -c_ {4}} {720}} + cdots}

где классы когомологий ${ displaystyle c_ {i}}$ классы Черна ${ displaystyle E}$ , и лежат в группе когомологий ${ displaystyle H ^ {2i} (X)}$ . Если ${ displaystyle X}$ конечномерно, то большинство членов обращается в нуль и ${ displaystyle operatorname {td} (E)}$ является многочленом от классов Черна.

Свойства класса Тодда

Класс Тодда мультипликативен:

{ Displaystyle Td ^ {*} (E oplus F) = Td ^ {*} (E) cdot Td ^ {*} (F).}

Позволять ${ displaystyle xi in H ^ {2} ({ mathbb {C}} P ^ {n})}$ - фундаментальный класс гиперплоского сечения. Из мультипликативности и точной последовательности Эйлера для касательного расслоения к ${ displaystyle { mathbb {C}} P ^ {n}}$

{ displaystyle 0 to { mathcal {O}} to { mathcal {O}} (1) ^ {n + 1} to T { mathbb {C}} P ^ {n} to 0, }

можно получить^[1]

{ Displaystyle Td ^ {*} (T { mathbb {C}} P ^ {n}) = left ({ dfrac { xi} {1-e ^ {- xi}}} right) ^ {n + 1}.}

Вычисления класса Тодда

Для любой алгебраической кривой ${ displaystyle C}$ класс Тодда просто ${ Displaystyle Td (X) = 1 + c_ {1} (T_ {X})}$ . С ${ displaystyle C}$ проективен, его можно вложить в некоторые ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ и мы можем найти ${ displaystyle c_ {1} (T_ {X})}$ используя нормальную последовательность

${ displaystyle 0 to T_ {X} to T _ { mathbb {P}} ^ {n} | _ {X} to N_ {X / mathbb {P} ^ {n}} to 0}$

и свойства классов черна. Например, если у нас есть степень ${ displaystyle d}$ плоская кривая в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ , находим полный класс Черна

${ displaystyle { begin {align} c (T_ {C}) & = { frac {c (T _ { mathbb {P} ^ {2}} | _ {C})} {c (N_ {C / mathbb {P} ^ {2}})}} & = { frac {1 + 3 [H]} {1 + d [H]}} & = (1 + 3 [H]) ( 1-d [H]) & = 1+ (3-d) [H] end {выровнено}}}$