Проблема Томсона - Thomson problem

Цель Проблема Томсона заключается в определении минимального электростатическая потенциальная энергия конфигурация N электроны прикованные к поверхности единичной сферы, которые отталкиваются друг от друга с силой, задаваемой Закон Кулона. Физик Дж. Дж. Томсон поставил проблему в 1904 г.^[1] после предложения атомный модель, позже названная сливовый пудинг модель, основанный на его знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов внутри нейтрально заряженных атомов.

Смежные проблемы включают изучение геометрии конфигурации с минимальной энергией и изучение большой N поведение минимальной энергии.

Математическое утверждение

Физическая система, воплощенная в проблеме Томсона, является частным случаем одной из восемнадцати нерешенных математических задач, предложенных математиком. Стив Смейл - «Распределение точек на 2-х сферах».^[2] Решение каждого N-электронная задача получается, когда N-электронная конфигурация, привязанная к поверхности сферы единичного радиуса, ${ displaystyle r = 1}$ , дает глобальный электростатическая потенциальная энергия минимум, ${ Displaystyle U (N)}$ .

Энергия электростатического взаимодействия между каждой парой электронов с одинаковым зарядом ( ${ displaystyle e_ {i} = e_ {j} = e}$ , с ${ displaystyle e}$ то элементарный заряд электрона) задается законом Кулона,

{ displaystyle U_ {ij} (N) = k_ {e} {e_ {i} e_ {j} over r_ {ij}}.}

Здесь, ${ displaystyle k_ {e}}$ является Постоянная Кулона и ${ displaystyle r_ {ij} = | mathbf {r} _ {i} - mathbf {r} _ {j} |}$ это расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках на сфере, определяемых векторами ${ Displaystyle mathbf {r} _ {я}}$ и ${ displaystyle mathbf {r} _ {j}}$ , соответственно.

Упрощенные единицы ${ displaystyle e = 1}$ и ${ displaystyle k_ {e} = 1}$ используются без потери общности. Потом,

{ displaystyle U_ {ij} (N) = {1 over r_ {ij}}.}

Полная электростатическая потенциальная энергия каждого N-электронная конфигурация может быть выражена как сумма всех парных взаимодействий

{ Displaystyle U (N) = sum _ {i

Глобальная минимизация ${ Displaystyle U (N)}$ по всем возможным коллекциям N отдельные точки обычно находятся с помощью алгоритмов численной минимизации.

Пример

Решение проблемы Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга по разные стороны от начала координат, ${ displaystyle r_ {ij} = 2r = 2}$ , или же

{ Displaystyle U (2) = {1 более 2}.}

Известные решения

Схематические геометрические решения математической задачи Томсона до N = 5 электронов.

Конфигурации с минимальной энергией были строго определены только в нескольких случаях.

За N = 1, решение тривиально, так как электрон может находиться в любой точке на поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, поскольку электрон не подвергается действию электрического поля из-за каких-либо других источников заряда.
За N = 2, оптимальная конфигурация состоит из электронов при противоположные точки.
За N = 3, электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника вокруг большой круг.^[3]
За N = 4, электроны находятся в вершинах регулярного тетраэдр.
За N = 5, в 2010 г. было сообщено о математически строгом компьютерном решении с электронами, находящимися в вершинах треугольная дипирамида.^[4]
За N = 6, электроны находятся в вершинах регулярного октаэдр.^[5]
За N = 12, электроны находятся в вершинах регулярного икосаэдр.^[6]

Примечательно, что геометрические решения проблемы Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов известны как Платоновы тела чьи грани представляют собой равносторонние равносторонние треугольники. Численные решения для N = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранными конфигурациями оставшихся двух Платоновых тел, грани которых квадратные и пятиугольные соответственно^{[нужна цитата ]}.

Обобщения

Можно также спросить об основных состояниях частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Для математической точности пусть ж - убывающая действительная функция, и определим функционал энергии ${ Displaystyle сумма _ {я$

Традиционно считается ${ Displaystyle е (х) = х ^ {- альфа}}$ также известен как Рис ${ displaystyle alpha}$ -ядра. Для интегрируемых ядер Рисса см.^[7]; для неинтегрируемых ядер Рисса Теорема о маковых бубликах держит, см^[8]. Известные случаи включают α = ∞, Проблема Таммеса (упаковка); α = 1 - проблема Томсона; α = 0, Проблема Уайта (чтобы максимально увеличить произведение расстояний).

Можно также рассмотреть конфигурации N указывает на сфера высшего измерения. Видеть сферический дизайн.

Отношение к другим научным проблемам

Проблема Томсона является естественным следствием теории Томсона. сливовый пудинг модель при отсутствии у него равномерного положительного фонового заряда.^[9]

«Ни один факт, открытый об атоме, не может быть тривиальным и не может не ускорить прогресс физической науки, поскольку большая часть натурфилософии является результатом структуры и механизма атома».

- Сэр Дж. Дж. Томсон^[10]

Хотя экспериментальные данные привели к отказу от модели сливового пудинга Томсона в качестве полной модели атома, обнаружено, что нерегулярности, наблюдаемые в численных энергетических решениях задачи Томсона, соответствуют заполнению электронной оболочки в естественных атомах по всему пространству. периодическая таблица элементов.^[11]

Проблема Томсона также играет роль в исследовании других физических моделей, включая многоэлектронные пузыри и упорядочение поверхности капель жидкого металла, заключенных в Пол ловушки.

Обобщенная проблема Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, составляющих оболочки сферических вирусы. «Частицы» в этом приложении представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенные на оболочке. Другие реализации включают регулярное размещение коллоид частицы в коллоидосомы, предлагаемые для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарства, питательные вещества или живые клетки, фуллерен структуры атомов углерода, и Теория VSEPR. Пример с дальнодействующими логарифмическими взаимодействиями дает Абрикосовские вихри которые образовывались бы при низких температурах в сверхпроводящий металлическая оболочка с большим монополем в центре.

Конфигурации с наименьшей известной энергией

В следующей таблице ${ displaystyle N}$ - количество точек (зарядов) в конфигурации, ${ displaystyle E_ {1}}$ - энергия, тип симметрии указан в Обозначение Шенфлиса (видеть Группы точек в трех измерениях ), и ${ displaystyle r_ {i}}$ позиции обвинений. Для большинства типов симметрии требуется векторная сумма позиций (и, следовательно, электрический дипольный момент ) равным нулю.

Также принято рассматривать многогранник, образованный выпуклый корпус точек. Таким образом, ${ displaystyle v_ {i}}$ - количество вершин, в которых пересекаются заданное количество ребер, ' ${ displaystyle e}$ общее количество ребер, ${ displaystyle f_ {3}}$ - количество треугольных граней, ${ displaystyle f_ {4}}$ - количество граней четырехугольника, а ${ displaystyle theta _ {1}}$ наименьший угол между векторами, связанными с ближайшей парой зарядов. Обратите внимание, что длины кромок обычно не равны; таким образом (кроме случаев N = 2, 3, 4, 6, 12 и геодезические многогранники ) выпуклая оболочка только топологически эквивалент числа, указанного в последнем столбце.^[12]

N	${ displaystyle E_ {1}}$	Симметрия	${ displaystyle left \| sum mathbf {r} _ {i} right \|}$	${ displaystyle v_ {3}}$	${ displaystyle v_ {4}}$	${ displaystyle v_ {5}}$	${ displaystyle v_ {6}}$	${ displaystyle v_ {7}}$	${ displaystyle v_ {8}}$	${ displaystyle e}$	${ displaystyle f_ {3}}$	${ displaystyle f_ {4}}$	${ displaystyle theta _ {1}}$	Эквивалентный многогранник
2	0.500000000	${ displaystyle D _ { infty h}}$	0	–	–	–	–	–	–	2	–	–	180.000°	Digon
3	1.732050808	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	треугольник
4	3.674234614	${ displaystyle T_ {d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	тетраэдр
5	6.474691495	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	треугольная дипирамида
6	9.985281374	${ displaystyle O_ {h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	октаэдр
7	14.452977414	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	пятиугольная дипирамида
8	19.675287861	${ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	квадратная антипризма
9	25.759986531	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	трехугольная призма
10	32.716949460	${ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	гировидная квадратная дипирамида
11	40.596450510	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	икосаэдр со сжатыми ребрами
12	49.165253058	${ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	икосаэдр (геодезическая сфера {3,5+}_1,0)
13	58.853230612	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	${ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	гировидная шестиугольная дипирамида
15	80.670244114	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°
17	106.050404829	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	двугиродлинная пятиугольная дипирамида
18	120.084467447	${ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	${ displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	${ displaystyle O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	курносый куб
25	243.812760299	${ displaystyle C_ {s}}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	${ displaystyle C_ {2}}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	${ displaystyle C_ {3v}}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	${ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	пентакид додекаэдр (геодезическая сфера {3,5+}_1,1)
33	440.204057448	${ displaystyle C_ {s}}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	${ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	${ displaystyle T_ {d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	${ displaystyle D_ {3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	${ displaystyle D_ {5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	${ displaystyle O_ {h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	${ displaystyle C_ {s}}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	${ displaystyle O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	${ displaystyle C_ {3}}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	${ displaystyle D_ {6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	${ displaystyle C_ {1}}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	${ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	${ displaystyle C_ {2}}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	геодезическая сфера {3,5+}_2,1
73	2320.633883745	${ displaystyle C_ {2}}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	${ displaystyle D_ {4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	${ displaystyle C_ {2}}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	${ displaystyle D_ {6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	${ displaystyle D_ {6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	${ displaystyle C_ {s}}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	${ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°	геодезическая сфера {3,5+}_2,2
123	6811.827228174	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	${ displaystyle D_ {4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°	геодезическая сфера {3,5+}_3,1
133	7998.179212898	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	${ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	${ displaystyle D_ {2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	${ displaystyle C_ {2v}}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	${ displaystyle C_ {3}}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	${ displaystyle C_ {1}}$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	геодезическая сфера {3,5+}_3,2
193	17144.564740880	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	${ displaystyle C_ {1}}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	${ displaystyle D_ {2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	${ displaystyle C_ {1}}$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	${ displaystyle C_ {s}}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	геодезическая сфера {3,5+}_4,1
214	21169.910410375	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	${ displaystyle I_ {h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	геодезическая сфера {3,5+}_3,3
282	37147.294418462	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°	геодезическая сфера {3,5+}_4,2
292	39877.008012909	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	${ displaystyle C_ {2}}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	${ displaystyle I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°	геодезическая сфера {3,5+}_4,3
382	68839.426839215	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	${ displaystyle T_ {h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	${ displaystyle C_ {1}}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	${ displaystyle T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	${ displaystyle D_ {5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	${ displaystyle D_ {3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	${ displaystyle T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	${ displaystyle T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	${ displaystyle S_ {6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	${ displaystyle S_ {6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

Согласно предположению, если ${ Displaystyle м = п + 2}$ , п - многогранник, образованный выпуклой оболочкой м точки, q количество четырехугольных граней п, то решение для м электроны ж(м): ${ displaystyle f (m) = 0 ^ {n} + 3n-q}$ .^[13]

Примечания

Уайт, Л.Л. (1952). «Уникальные расположения точек на шаре». Амер. Математика. Ежемесячно. 59 (9): 606–611. Дои:10.2307/2306764. JSTOR 2306764.
Кон, Харви (1956). «Конфигурации устойчивости электронов на сфере». Математика. Вычислить. 10 (55): 117–120. Дои:10.1090 / S0025-5718-1956-0081133-0.
Гольдберг, Майкл (1969). «Конфигурации устойчивости электронов на сфере». Математика. Comp. 23 (108): 785–786. Дои:10.1090 / S0025-5718-69-99642-2.
Эрбер, Т .; Хокни, Г. М. (1991). «равновесные конфигурации N равных зарядов на сфере». J. Phys. A: Математика. Gen. 24 (23): L1369. Bibcode:1991JPhA ... 24L1369E. Дои:10.1088/0305-4470/24/23/008.
Morris, J. R .; Deaven, D. M .; Хо, К. М. (1996). «Генетический алгоритм минимизации энергии точечных зарядов на сфере». Phys. Ред. B. 53 (4): R1740 – R1743. Bibcode:1996ПхРвБ..53.1740М. CiteSeerX 10.1.1.28.93. Дои:10.1103 / PhysRevB.53.R1740.
Эрбер, Т .; Хокни, Г. М. (1997). Сложные системы: равновесные конфигурации ${ displaystyle N}$ Равные заряды на сфере ${ Displaystyle (2 Leq N Leq 112)}$ . Успехи химической физики. 98. С. 495–594. Дои:10.1002 / 9780470141571.ch5. ISBN 9780470141571..
Altschuler, E. L .; Уильямс, Т. Дж .; Ratner, E. R .; Типтон, Р.; Stong, R .; Dowla, F .; Вутен, Ф. (1997). «Возможные глобальные минимальные конфигурации решетки для задачи Томсона о зарядах на сфере». Phys. Rev. Lett. 78 (14): 2681–2685. Bibcode:1997ПхРвЛ..78.2681А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.78.2681.
Bowick, M .; Cacciuto, A .; Nelson, D. R .; Травессет А. (2002). «Кристаллический порядок на сфере и обобщенная проблема Томсона». Phys. Rev. Lett. 89 (18): 249902. arXiv:cond-mat / 0206144. Bibcode:2002ПхРвЛ..89р5502Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.89.185502. PMID 12398614.
Драгнев П.Д .; Legg, D. A .; Таунсенд, Д. В. (2002). «Дискретная логарифмическая энергия на сфере». Pacific J. Math. 207 (2): 345–358. Дои:10.2140 / pjm.2002.207.345..
Katanforoush, A .; Шахшахани, М. (2003). «Раздаточные точки на сфере. I». Exper. Математика. 12 (2): 199–209. Дои:10.1080/10586458.2003.10504492.
Уэльс, Дэвид Дж .; Улкер, Сидика (2006). «Структура и динамика сферических кристаллов, охарактеризованных для задачи Томсона». Phys. Ред. B. 74 (21): 212101. Bibcode:2006PhRvB..74u2101W. Дои:10.1103 / PhysRevB.74.212101. Конфигурации перепечатаны в Уэльс, Д. Дж .; Улькер, С. «База данных Кембриджского кластера».
Слосар, А .; Подгорник Р. (2006). «О проблеме Томсона связанных зарядов». Europhys. Латыш. 75 (4): 631. arXiv:cond-mat / 0606765. Bibcode:2006ЭЛ ..... 75..631С. Дои:10.1209 / epl / i2006-10146-1.
Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2007). «Универсально оптимальное распределение точек по сферам». J. Amer. Математика. Soc. 20 (1): 99–148. arXiv:математика / 0607446. Bibcode:2007JAMS ... 20 ... 99C. Дои:10.1090 / S0894-0347-06-00546-7.
Уэльс, Д. Дж .; McKay, H .; Альтшулер, Э. Л. (2009). «Мотивы дефектов для сферических топологий». Phys. Ред. B. 79 (22): 224115. Bibcode:2009PhRvB..79v4115W. Дои:10.1103 / PhysRevB.79.224115.. Конфигурации воспроизведены в Уэльс, Д. Дж .; Улькер, С. «База данных Кембриджского кластера».
Ridgway, W. J. M .; Чевяков, А.Ф. (2018). «Итерационная процедура для поиска локально и глобально оптимального расположения частиц на единичной сфере». Comput. Phys. Сообщество. 233: 84–109. Дои:10.1016 / j.cpc.2018.03.029.
Чека, Крис; Боуик, Марк Дж .; Миддлтон, Алан А. "Проблема Томсона @ S.U."

[1] Томсон, Джозеф Джон (Март 1904 г.). "О строении атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных через равные промежутки времени по окружности круга; с применением результатов к теории строения атома" (PDF). Философский журнал. 6 серия. 7 (39): 237–265. Дои:10.1080/14786440409463107. Архивировано из оригинал (PDF) 13 декабря 2013 г.

[2] Смейл, С. (1998). «Математические задачи следующего века». Математический интеллигент. 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101. Дои:10.1007 / bf03025291.

[3] Фёппл, Л. (1912). "Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom". J. Reine Angew. Математика. (141): 251–301..

[4] Шварц, Ричард (2010). "5-электронный случай проблемы Томсона". arXiv:1001.3702 [math.MG ].

[5] Юдин, В.А. (1992). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика. 4 (2): 115–121.; Юдин, В. А. (1993). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика. Приложение. 3 (1): 75–81. Дои:10.1515 / dma.1993.3.1.75.

[6] Андреев, Н. (1996). «Экстремальное свойство икосаэдра». Приближение Ист Дж.. 2 (4): 459–462. МИСТЕР1426716, Zbl 0877.51021

[7] Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А.П. Духовского. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 с.

[8] Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Замечает амер. Математика. Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186–1194

[9] Левин, Ю .; Арензон, Дж. Дж. (2003). «Почему заряды попадают на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Europhys. Латыш. 63 (3): 415. arXiv:cond-mat / 0302524. Bibcode:2003ЭЛ ..... 63..415Л. Дои:10.1209 / epl / i2003-00546-1.

[10] Сэр Дж. Дж. Томсон, Романская лекция, 1914 (Теория атома)

[11] Лафэйв младший, Тим (2013). «Соответствие классической электростатической задачи Томсона и электронной структуры атома». Журнал электростатики. 71 (6): 1029–1035. arXiv:1403.2591. Дои:10.1016 / j.elstat.2013.10.001.

[12] Кевин Браун.«Минэнергетические конфигурации электронов на сфере» Проверено 1 мая 2014.

[geom_sol-13] "A008486 Слоана (см. Комментарий от 3 февраля 2017 г.)". Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS. Получено 2017-02-08.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]