Тензорное присоединение - Tensor-hom adjunction

В математика, то тензор-гом присоединение это то тензорное произведение ${displaystyle -otimes X}$ и hom-функтор ${displaystyle operatorname {Hom} (X, -)}$ для мужчин сопряженная пара:

${displaystyle operatorname {Hom} (Yotimes X, Z) cong operatorname {Hom} (Y, operatorname {Hom} (X, Z)).}$

Ниже это уточняется. Порядок терминов во фразе «тензор-гом-присоединение» отражает их взаимосвязь: тензор - левый сопряженный, а гом - правый.

Общее утверждение

Сказать р и S являются (возможно, некоммутативными) кольца, и считайте правильным модуль категории (аналогичное утверждение верно для левых модулей):

${displaystyle {mathcal {C}} = mathrm {Mod} _ {S} quad {ext {and}} quad {mathcal {D}} = mathrm {Mod} _ {R}.}$

Исправьте (р,S) -бимодуль Икс и определим функторы F: D → C и грамм: C → D следующее:

${displaystyle F (Y) = Yotimes _ {R} Xquad {ext {for}} Инь {mathcal {D}}}$

${displaystyle G (Z) = operatorname {Hom} _ {S} (X, Z) quad {ext {for}} Zin {mathcal {C}}}$

потом F осталось прилегающий к грамм. Это означает, что есть естественный изоморфизм

${displaystyle operatorname {Hom} _ {S} (Yotimes _ {R} X, Z) cong operatorname {Hom} _ {R} (Y, operatorname {Hom} _ {S} (X, Z)).}$

На самом деле это изоморфизм абелевы группы. Точнее, если Y является (А, р) бимодуль и Z это (B, S) бимодулем, то это изоморфизм (B, А) бимодули. Это один из вдохновляющих примеров структуры закрытого бикатегория.^[1]

Граф и блок

Подобно всем присоединениям, тензор-гом присоединение можно описать его счетчиком и единицей естественные преобразования. Используя обозначения из предыдущего раздела, счетчик

${displaystyle varepsilon: FG o 1_ {mathcal {C}}}$

имеет составные части

${displaystyle varepsilon _ {Z}: имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z) otimes _ {R} X o Z}$

дано оценкой: Для

${displaystyle phi in operatorname {Hom} _ {R} (X, Z) quad {ext {and}} quad xin X,}$

${displaystyle varepsilon (phi otimes x) = phi (x).}$

В составные части подразделения

${displaystyle eta: 1_ {mathcal {D}} o GF}$

${displaystyle eta _ {Y}: Y o operatorname {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X)}$

определяются следующим образом: Для у в Y,

${displaystyle eta _ {Y} (y) в операторе {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X)}$

это право S-модульный гомоморфизм, задаваемый формулой

${displaystyle eta _ {Y} (y) (t) = yotimes tquad {ext {for}} tin X.}$

В счетные и единичные уравнения теперь можно явно проверить. За Y в C,

${displaystyle varepsilon _ {FY} circ F (eta _ {Y}): Yotimes _ {R} X o operatorname {Hom} _ {S} (X, Yotimes _ {R} X) otimes _ {R} X o Yotimes _ {R} X}$

дается на простые тензоры из Y⊗Икс к

${displaystyle varepsilon _ {FY} circ F (eta _ {Y}) (yotimes x) = eta _ {Y} (y) (x) = yotimes x.}$

Так же,

${displaystyle G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {GZ}: имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z) или имя оператора {Hom} _ {S} (X, имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z) иногда _ {R} X) o имя оператора {Hom} _ {S} (X, Z).}$

Для φ в Hom_S(Икс, Z),

${displaystyle G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {GZ} (phi)}$

это право S-модульный гомоморфизм, определяемый

${displaystyle G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {GZ} (phi) (x) = varepsilon _ {Z} (phi otimes x) = phi (x)}$

и поэтому

${displaystyle G (varepsilon _ {Z}) circ eta _ {GZ} (phi) = phi.}$

Функторы Ext и Tor

В Hom функтор ${displaystyle hom (X, -)}$ коммутирует с произвольными пределами, а тензорное произведение ${displaystyle -otimes X}$ функтор коммутирует с произвольными копределами, существующими в их категории домена. Однако в целом ${displaystyle hom (X, -)}$ не может работать с копределами, и ${displaystyle -otimes X}$ не работает с ограничениями; этот отказ происходит даже среди конечных пределов или копределов. Эта неспособность сохранить короткие точные последовательности мотивирует определение Функтор Ext и Функтор Tor.

Смотрите также

• Каррирование
• Функтор Ext
• Функтор Tor

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, алгебра I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9