Stufe (алгебра) - Stufe (algebra)

В теория поля, филиал математика, то Stufe (/ʃtuːfə/; Немецкий: уровень) s(F) из поле F - наименьшее количество квадратов, сумма которых равна -1. Если −1 нельзя записать как сумму квадратов, s(F) = ${ displaystyle infty}$. В этом случае, F это формально реальное поле. Альбрехт Пфистер доказал, что Stufe, если он конечен, всегда есть степень двойки, и, наоборот, каждая степень двойки встречается.^[1]

Степень 2

Если ${ Displaystyle s (F) neq infty}$ тогда ${ Displaystyle s (F) = 2 ^ {k}}$ для некоторых натуральное число ${ displaystyle k}$.^[1][2]

Доказательство: Позволять ${ Displaystyle к в mathbb {N}}$ быть выбранным так, чтобы ${ displaystyle 2 ^ {k} leq s (F) <2 ^ {k + 1}}$. Позволять ${ Displaystyle п = 2 ^ {к}}$. Тогда есть ${ Displaystyle s = s (F)}$ элементы ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {s} in F setminus {0 }}$ такой, что

${ displaystyle 0 = underbrace {1 + e_ {1} ^ {2} + cdots + e_ {n-1} ^ {2}} _ {=: , a} + underbrace {e_ {n} ^ {2} + cdots + e_ {s} ^ {2}} _ {=: , b} ;.}$

Обе ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ суммы ${ displaystyle n}$ квадраты и ${ displaystyle a neq 0}$, так как иначе ${ Displaystyle s (F) <2 ^ {k}}$, вопреки предположению о ${ displaystyle k}$.

Согласно теории Формы Пфистера, продукт ${ displaystyle ab}$ сам по себе является суммой ${ displaystyle n}$ квадраты, то есть ${ displaystyle ab = c_ {1} ^ {2} + cdots + c_ {n} ^ {2}}$ для некоторых ${ displaystyle c_ {i} in F}$. Но с тех пор ${ displaystyle a + b = 0}$, у нас также есть ${ displaystyle -a ^ {2} = ab}$, и поэтому

${ displaystyle -1 = { frac {ab} {a ^ {2}}} = left ({ frac {c_ {1}} {a}} right) ^ {2} + cdots + left ({ frac {c_ {n}} {a}} right) ^ {2},}$

и поэтому ${ Displaystyle s (F) = п = 2 ^ {к}}$.

Положительная характеристика

Любое поле ${ displaystyle F}$ с положительным характеристика имеет ${ Displaystyle s (F) leq 2}$.^[3]

Доказательство: Позволять ${ displaystyle p = operatorname {char} (F)}$. Достаточно доказать утверждение для ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$.

Если ${ displaystyle p = 2}$ тогда ${ Displaystyle -1 = 1 = 1 ^ {2}}$, так ${ Displaystyle s (F) = 1}$.

Если ${ displaystyle p> 2}$ рассмотреть набор ${ displaystyle S = {x ^ {2}: x in mathbb {F} _ {p} }}$ квадратов. ${ Displaystyle S setminus {0 }}$ это подгруппа из индекс ${ displaystyle 2}$ в циклическая группа ${ Displaystyle mathbb {F} _ {p} ^ { times}}$ с ${ displaystyle p-1}$ элементы. Таким образом ${ displaystyle S}$ содержит точно ${ displaystyle { tfrac {p + 1} {2}}}$ элементы, и то же самое ${ displaystyle -1-S}$.С ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ только есть ${ displaystyle p}$ всего элементов, ${ displaystyle S}$ и ${ displaystyle -1-S}$ не может быть непересекающийся, то есть есть ${ displaystyle x, y in mathbb {F} _ {p}}$ с ${ displaystyle S ni x ^ {2} = - 1-y ^ {2} in -1-S}$ и поэтому ${ displaystyle -1 = x ^ {2} + y ^ {2}}$.

Характеристики

Stufe s(F) относится к Число Пифагора п(F) к п(F) ≤ s(F) + 1.^[4] Если F формально не реально s(F) ≤ п(F) ≤ s(F) + 1.^[5][6] Аддитивный порядок вида (1), а значит, и показатель степени из Группа Витта из F равно 2s(F).^[7][8]

Примеры

• Stufe из квадратично замкнутое поле равно 1.^[8]
• Stufe из поле алгебраических чисел равно ∞, 1, 2 или 4 (теорема Зигеля).^[9] Примеры Q, Q(√−1), Q(√ − 2) и Q(√−7).^[7]
• Stufe из конечное поле GF (q) равно 1, если q ≡ 1 мод 4 и 2, если q ≡ 3 мод 4.^[3][8][10]
• Stufe из местное поле нечетной характеристики вычетов совпадает с характеристикой ее поля вычетов. Стюфе 2-адического поля Q₂ равно 4.^[9]

Примечания

Рекомендации

• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023.
• Милнор, Дж.; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 73. Springer-Verlag. ISBN  3-540-06009-Х. Zbl  0292.10016.
• Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.

дальнейшее чтение

• Кнебуш, Манфред; Шарлау, Винфрид (1980). Алгебраическая теория квадратичных форм. Общие методы и формы Пфистера. Семинар DMV. 1. Заметки, сделанные Хейсук Ли. Бостон - Базель - Штутгарт: Birkhäuser Verlag. ISBN  3-7643-1206-8. Zbl  0439.10011.