Симплициальная аппроксимационная теорема - Simplicial approximation theorem

В математика, то симплициальная аппроксимационная теорема является основополагающим результатом для алгебраическая топология, гарантируя, что непрерывные отображения могут быть (с небольшой деформацией) аппроксимированы теми, которые кусочно самого простого вида. Это относится к сопоставлениям между пространствами, которые построены из симплексы - то есть конечный симплициальные комплексы. Общее непрерывное отображение между такими пространствами приближенно можно представить с помощью типа отображения (аффинный-) линейные на каждом симплексе в другой симплекс, ценой (i) достаточной барицентрическое подразделение симплексов области и (ii) замена фактического отображения на гомотопный один.

Эта теорема была впервые доказана L.E.J. Брауэр, используя Теорема Лебега о покрытии (результат основан на компактность ). Это послужило для теория гомологии времени - первое десятилетие двадцатого века - на строгой основе, поскольку он показал, что топологический эффект (на группы гомологии ) непрерывных отображений в данном случае можно выразить в виде финишный путь. Это следует рассматривать на фоне осознания того времени, что преемственность в целом совместима с патологический, в некоторых других областях. Это положило начало, можно сказать, эре комбинаторная топология.

Есть еще симплициальная аппроксимационная теорема для гомотопий, заявив, что гомотопия между непрерывными отображениями можно также аппроксимировать комбинаторной версией.

Формальная формулировка теоремы

Позволять ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle L}$ быть двумя симплициальные комплексы. А симплициальное отображение ${ displaystyle f: K to L}$ называется симплициальным приближением непрерывной функции ${ Displaystyle F: | K | к | L |}$ если за каждую точку ${ Displaystyle х дюйм | К |}$, ${ Displaystyle | е | (х)}$ принадлежит минимальному замкнутому симплексу ${ displaystyle L}$ содержащий точку ${ Displaystyle F (х)}$. Если ${ displaystyle f}$ является симплициальным приближением к непрерывному отображению ${ displaystyle F}$, то геометрическая реализация ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle | f |}$ обязательно гомотопен ${ displaystyle F}$.

Теорема о симплициальном приближении утверждает, что для любого непрерывного отображения ${ Displaystyle F: | K | к | L |}$ существует натуральное число ${ displaystyle n_ {0}}$ такой, что для всех ${ displaystyle n geq n_ {0}}$ существует симплициальное приближение ${ displaystyle f: mathrm {Bd} ^ {n} K to L}$ к ${ displaystyle F}$ (куда ${ Displaystyle mathrm {Bd} ; K}$ обозначает барицентрическое подразделение из ${ displaystyle K}$, и ${ displaystyle mathrm {Bd} ^ {n} K}$ обозначает результат применения барицентрического подразделения ${ displaystyle n}$ раз.)

Рекомендации

• «Симплициальный комплекс», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]