Второй момент площади - Second moment of area

В 2^nd момент площади, или же второй момент области а также известный как момент инерции площади, является геометрическим свойством площадь который отражает то, как его точки распределены относительно произвольной оси. Второй момент площади обычно обозначается либо ${ displaystyle I}$ (для оси, лежащей в плоскости) или с ${ displaystyle J}$ (для оси, перпендикулярной плоскости). В обоих случаях он рассчитывается с кратный интеграл над рассматриваемым объектом. Его размерность L (длина) в четвертой степени. Его единица измерения измерения, при работе с Международная система единиц, это метры в четвертой степени, м⁴, или дюймы в четвертой степени, в⁴, при работе в Имперская система единиц.

В Строительная инженерия, второй момент площади луч является важным свойством, используемым при расчете балки отклонение и расчет стресс вызвано момент наносится на балку. Чтобы максимизировать второй момент площади, большая часть площадь поперечного сечения из Двутавровая балка расположен на максимально возможном удалении от центроид поперечного сечения двутавра. В планарный второй момент площади дает представление о балке сопротивление изгибу из-за приложенного момента, сила, или распространены нагрузка перпендикулярно его нейтральная ось, как функция его формы. Полярный второй момент площади дает представление о сопротивлении луча крутильный прогиб из-за приложенного момента, параллельного его поперечному сечению, в зависимости от его формы.

Примечание: В разных дисциплинах используется термин момент инерции (MOI) ссылаясь на разные моменты. Это может относиться к любому из планарный вторые моменты площади (часто ${ displaystyle I_ {x} = textstyle iint _ {R} y ^ {2} , mathrm {d} A { text {или}} I_ {y} = textstyle iint _ {R} x ^ {2} , mathrm {d} A}$ , относительно некоторой плоскости отсчета), или полярный второй момент площади ( ${ Displaystyle I = textstyle iint _ {R} r ^ {2} , mathrm {d} A}$ , где r - расстояние до некоторой оси отсчета). В каждом случае интеграл берется по всем бесконечно малым элементам площадь, dA, в некотором двумерном сечении. В физика, момент инерции строго второй момент масса относительно расстояния от оси: ${ displaystyle I = textstyle int _ {Q} r ^ {2} mathrm {d} m}$ , где r - расстояние до некоторой потенциальной оси вращения, а интеграл ведется по всем бесконечно малым элементам масса, dm, в трехмерном пространстве, занимаемом объектом $Q$ . MOI в этом смысле является аналогом массы для задач вращения. В машиностроении (особенно механическом и гражданском), момент инерции обычно относится ко второму моменту области.^[1]

Определение

Произвольной формы. ρ - радиальное расстояние до элемента dА, с проекциями Икс и у по осям.

Второй момент площади для произвольной формы $р$ относительно произвольной оси ${ displaystyle BB '}$ определяется как

{ displaystyle J_ {BB '} = iint limits _ {R} { rho} ^ {2} , mathrm {d} A}

куда

{ displaystyle mathrm {d} A}

- дифференциальная площадь произвольной формы, а

{ displaystyle rho}

это расстояние от оси

{ displaystyle BB '}

к

{ displaystyle mathrm {d} A}

.^[2]

Например, когда желаемая ось отсчета оси х, второй момент площади ${ displaystyle I_ {xx}}$ (часто обозначается как ${ displaystyle I_ {x}}$ ) можно вычислить в Декартовы координаты в качестве

{ displaystyle I_ {x} = iint limits _ {R} y ^ {2} , mathrm {d} x , mathrm {d} y}

Второй момент области имеет решающее значение в Теория Эйлера – Бернулли тонких балок.

Момент площади продукта

В более общем плане продукт момент площади определяется как^[3]

{ Displaystyle I_ {xy} = iint limits _ {R} yx , mathrm {d} x , mathrm {d} y}

Теорема о параллельной оси

Форма с центроидный ось Икс. Теорема о параллельных осях может быть использована для получения второго момента площади относительно Икс' ось.

Иногда бывает необходимо вычислить второй момент площади формы относительно ${ displaystyle x '}$ ось отличается от центроидный ось формы. Однако часто бывает проще получить второй момент площади относительно его центральной оси, ${ displaystyle x}$ , и используйте теорему о параллельных осях, чтобы получить второй момент площади относительно ${ displaystyle x '}$ ось. Теорема о параллельной оси утверждает

{ displaystyle I_ {x '} = I_ {x} + Ad ^ {2}}

куда

{ displaystyle A}

площадь фигуры, а

{ displaystyle d}

перпендикулярное расстояние между

{ displaystyle x}

и

{ displaystyle x '}

топоры.^[4]^[5]

Аналогичное заявление можно сделать о ${ displaystyle y '}$ ось и параллельная центроидальная ${ displaystyle y}$ ось. Или вообще любой центроидной ${ displaystyle B}$ ось и параллель ${ displaystyle B '}$ ось.

Теорема о перпендикулярной оси

Для простоты расчета часто требуется определить полярный момент площади (относительно перпендикулярной оси) в терминах двух моментов инерции площади (как относительно осей в плоскости). Самый простой случай относится ${ displaystyle J_ {z}}$ к ${ displaystyle I_ {x}}$ и ${ displaystyle I_ {y}}$ .

{ Displaystyle J_ {z} = iint limits _ {R} rho ^ {2} , mathrm {d} A = iint limits _ {R} left (x ^ {2} + y ^ {2} right) , mathrm {d} A = iint limits _ {R} x ^ {2} , mathrm {d} A + iint limits _ {R} y ^ {2} , mathrm {d} A = I_ {x} + I_ {y}}

Эти отношения опираются на теорема Пифагора что касается ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ к ${ displaystyle rho}$ и на линейность интегрирования.

Составные формы

Для более сложных областей часто проще разделить область на ряд «более простых» форм. Второй момент площади для всей формы - это сумма второго момента площадей всех ее частей вокруг общей оси. Это может включать формы, которые «отсутствуют» (например, отверстия, полые формы и т.д.), и в этом случае второй момент площади «недостающих» областей вычитается, а не добавляется. Другими словами, второй момент площади «недостающих» деталей считается отрицательным для метода составных форм.

Примеры

Видеть список секундных моментов площади для других форм.

Прямоугольник с центром тяжести в начале координат

Прямоугольник с основанием б и высота час

Рассмотрим прямоугольник с основанием ${ displaystyle b}$ и высота ${ displaystyle h}$ чей центроид находится в начале координат. ${ displaystyle I_ {x}}$ представляет второй момент площади относительно оси x; ${ displaystyle I_ {y}}$ представляет второй момент площади относительно оси y; ${ displaystyle J_ {z}}$ представляет собой полярный момент инерции относительно оси z.

{ displaystyle { begin {align} I_ {x} & = iint limits _ {R} y ^ {2} , mathrm {d} A = int _ {- { frac {b} {2 }}} ^ { frac {b} {2}} int _ {- { frac {h} {2}}} ^ { frac {h} {2}} y ^ {2} , mathrm {d} y , mathrm {d} x = int _ {- { frac {b} {2}}} ^ { frac {b} {2}} { frac {1} {3}} { frac {h ^ {3}} {4}} , mathrm {d} x = { frac {bh ^ {3}} {12}} I_ {y} & = iint limits _ {R} x ^ {2} , mathrm {d} A = int _ {- { frac {b} {2}}} ^ { frac {b} {2}} int _ {- { frac {h} {2}}} ^ { frac {h} {2}} x ^ {2} , mathrm {d} y , mathrm {d} x = int _ {- { frac {b} {2}}} ^ { frac {b} {2}} hx ^ {2} , mathrm {d} x = { frac {b ^ {3} h} {12}} конец {выровнен}}}

С использованием теорема о перпендикулярной оси мы получаем ценность ${ displaystyle J_ {z}}$ .

{ displaystyle J_ {z} = I_ {x} + I_ {y} = { frac {bh ^ {3}} {12}} + { frac {hb ^ {3}} {12}} = { гидроразрыв {bh} {12}} left (b ^ {2} + h ^ {2} right)}

Кольцо с центром в начале координат

Кольцо с внутренним радиусом р₁ и внешний радиус р₂

Рассмотрим кольцо центр которого находится в начале координат, внешний радиус ${ displaystyle r_ {2}}$ , а внутренний радиус ${ displaystyle r_ {1}}$ . Из-за симметрии кольца центроид также лежит в начале координат. Мы можем определить полярный момент инерции, ${ displaystyle J_ {z}}$ , о ${ displaystyle z}$ ось методом составных форм. Этот полярный момент инерции эквивалентен полярному моменту инерции круга с радиусом ${ displaystyle r_ {2}}$ минус полярный момент инерции окружности радиуса ${ displaystyle r_ {1}}$ , оба с центром в начале координат. Сначала выведем полярный момент инерции окружности радиуса ${ displaystyle r}$ относительно происхождения. В этом случае проще рассчитать напрямую ${ displaystyle J_ {z}}$ как у нас уже есть ${ displaystyle r ^ {2}}$ , который имеет как ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ компонент. Вместо получения второго момента площади из Декартовы координаты как и в предыдущем разделе, мы рассчитаем ${ displaystyle I_ {x}}$ и ${ displaystyle J_ {z}}$ напрямую используя полярные координаты.

{ Displaystyle { begin {align} I_ {x, circle} & = iint limits _ {R} y ^ {2} , dA = iint limits _ {R} (r sin { theta) } ^ {2} , mathrm {d} A = int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {r} (r sin { theta}) ^ {2} left (r , mathrm {d} r , mathrm {d} theta right) & = int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {r} r ^ {3} sin ^ {2} { theta} , mathrm {d} r , mathrm {d} theta = int _ {0} ^ {2 pi} { frac {r ^ {4} sin ^ {2} { theta}} {4}} , mathrm {d} theta = { frac { pi} {4}} r ^ {4} J_ {z, круг} & = iint limits _ {R} r ^ {2} , mathrm {d} A = int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {r} r ^ {2} left (r , mathrm {d} r , mathrm {d} theta right) = int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {r} г ^ {3} , mathrm {d} r , mathrm {d} theta & = int _ {0} ^ {2 pi} { frac {r ^ {4}} {4 }} , mathrm {d} theta = { frac { pi} {2}} r ^ {4} end {align}}}

Теперь полярный момент инерции относительно ${ displaystyle z}$ ось для кольца - это просто, как указано выше, разница вторых моментов площади круга с радиусом ${ displaystyle r_ {2}}$ и круг с радиусом ${ displaystyle r_ {1}}$ .

{ displaystyle J_ {z} = J_ {z, r_ {2}} - J_ {z, r_ {1}} = { frac { pi} {2}} r_ {2} ^ {4} - { frac { pi} {2}} r_ {1} ^ {4} = { frac { pi} {2}} left (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4} верно)}

В качестве альтернативы мы могли бы изменить ограничения на ${ displaystyle mathrm {d} r}$ интеграл первый раз, чтобы отразить тот факт, что есть дыра. Это было бы сделано так.

{ displaystyle { begin {align} J_ {z} & = iint limits _ {R} r ^ {2} , mathrm {d} A = int _ {0} ^ {2 pi} int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} r ^ {2} left (r , mathrm {d} r , mathrm {d} theta right) = int _ {0 } ^ {2 pi} int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} r ^ {3} , mathrm {d} r , mathrm {d} theta & = int _ {0} ^ {2 pi} left [{ frac {r_ {2} ^ {4}} {4}} - { frac {r_ {1} ^ {4}} {4}} right] , mathrm {d} theta = { frac { pi} {2}} left (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4} right) end {выровнено }}}

Любой многоугольник

Простой многоугольник. Здесь,

{ displaystyle n = 6}

, обратите внимание, пункт «7» идентичен пункту 1.

Второй момент области о происхождении для любого простой многоугольник на плоскости XY можно вычислить, как правило, суммируя вклады от каждого сегмента многоугольника после деления площади на набор треугольников. Эта формула связана с формула шнурка и может рассматриваться как частный случай Теорема Грина.

Предполагается, что многоугольник имеет ${ displaystyle n}$ вершины, пронумерованные против часовой стрелки. Если вершины многоугольника пронумерованы по часовой стрелке, возвращаемые значения будут отрицательными, но абсолютные значения будут правильными.

{ displaystyle { begin {align} I_ {y} & = { frac {1} {12}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} y_ {i + 1}) -x_ {i + 1} y_ {i} right) left (x_ {i} ^ {2} + x_ {i} x_ {i + 1} + x_ {i + 1} ^ {2} right) I_ {x} & = { frac {1} {12}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i} right) left (y_ {i} ^ {2} + y_ {i} y_ {i + 1} + y_ {i + 1} ^ {2} right) I_ {xy} & = { frac {1} {24}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i} right) left (x_ {i} y_ {i + 1} + 2x_ {i} y_ {i} + 2x_ {i + 1} y_ {i + 1} + x_ {i + 1} y_ {i} right) конец {выровнен}}}

^[6]^[7]

куда ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ координаты ${ displaystyle i}$ -я вершина многоугольника, для ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п}$ . Также, ${ displaystyle x_ {n + 1}, y_ {n + 1}}$ считаются равными координатам первой вершины, т. е. ${ Displaystyle х_ {п + 1} = х_ {1}}$ и ${ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {1}}$ .^[8]^[9]