Прогиб (инженерный) - Deflection (engineering)

Прогиб (f) в технике

В инженерное дело, отклонение степень смещения структурного элемента под нагрузка (из-за его деформация ). Это может относиться к углу или расстоянию.

Расстояние прогиба элемента под нагрузкой можно рассчитать путем интегрирования функции, которая математически описывает наклон отклоненной формы элемента под этой нагрузкой.

Стандартные формулы существуют для прогиба общих луч конфигурации и загружения в отдельных местах. В противном случае методы, такие как виртуальная работа, прямая интеграция, Метод Кастильяно, Метод Маколея или метод прямой жесткости используются. Прогиб балочных элементов обычно рассчитывается исходя из Уравнение Эйлера – Бернулли для пучка в то время как пластина или элемент оболочки рассчитывается с использованием тарелка или ракушка теория.

Пример использования отклонения в этом контексте - строительство. Архитекторы и инженеры подбирать материалы для различных приложений.

Прогиб балки при различных нагрузках и опорах

Балки могут сильно различаться по своей геометрии и составу. Например, балка может быть прямой или изогнутой. Он может иметь постоянное поперечное сечение или может сужаться. Он может быть полностью изготовлен из одного материала (однородный) или состоять из разных материалов (композит). Некоторые из этих вещей затрудняют анализ, но многие инженерные приложения включают в себя не такие сложные случаи. Анализ упрощается, если:

- Луч изначально прямой, а любой конус небольшой

- Луч испытывает только линейная эластичность деформация

- Балка тонкая (отношение длины к высоте больше 10)

- Учитываются только небольшие отклонения (макс. Отклонение менее 1/10 охватывать ).

В этом случае уравнение прогиба балки ( ${ displaystyle w}$ ) можно приблизительно представить как:

{ Displaystyle { cfrac { mathrm {d} ^ {2} w (x)} { mathrm {d} x ^ {2}}} = { frac {M (x)} {E (x) I (Икс)}}}

где вторая производная его отклоненной формы по ${ displaystyle x}$ интерпретируется как его кривизна, ${ displaystyle E}$ это Модуль для младших, ${ displaystyle I}$ это момент инерции площади поперечного сечения, и ${ displaystyle M}$ это внутренний изгиб момент в пучке.

Если к тому же балка не сужается, а однородный, и на него действует распределенная нагрузка ${ displaystyle q}$ , указанное выше выражение можно записать как:

{ Displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} w (x)} { mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x)}

Это уравнение может быть решено для различных нагрузок и граничных условий. Ниже приведен ряд простых примеров. Выраженные формулы являются приближениями, разработанными для длинных, тонких, однородных призматических балок с небольшими прогибами и линейными упругими свойствами. При этих ограничениях приближения должны давать результаты в пределах 5% от фактического прогиба.

Консольные балки

Один конец консольных балок зафиксирован, поэтому наклон и прогиб на этом конце должны быть нулевыми.

Схема прогиба консольной балки.

Консольные балки с торцевой нагрузкой

Консольная балка с усилием на свободном конце

В эластичный отклонение ${ displaystyle delta}$ и угол отклонения ${ displaystyle phi}$ (в радианы ) на свободном конце в примере изображения: A (невесомая) консоль балку с концевой нагрузкой можно рассчитать (на свободном конце B) с помощью:^[1]

{ displaystyle delta _ {B} = { frac {FL ^ {3}} {3EI}}}

{ displaystyle phi _ {B} = { frac {FL ^ {2}} {2EI}}}

куда

{ displaystyle F}

= Сила воздействуя на кончик луча

{ displaystyle L}

= Длина балки (пролет)

{ displaystyle E}

= Модуль упругости

{ displaystyle I}

= Момент инерции площади поперечного сечения балки

Обратите внимание, что если пролет удваивается, прогиб увеличивается в восемь раз. Прогиб в любой точке, ${ displaystyle x}$ , вдоль пролета консольной балки с концевой нагрузкой можно рассчитать с помощью:^[1]

{ displaystyle delta _ {x} = { frac {Fx ^ {2}} {6EI}} (3L-x)}

{ displaystyle phi _ {x} = { frac {Fx} {2EI}} (2L-x)}

Не есть ${ displaystyle x = L}$ (конец балки), ${ displaystyle delta _ {x}}$ и ${ displaystyle phi _ {x}}$ уравнения идентичны ${ displaystyle delta _ {B}}$ и ${ displaystyle phi _ {B}}$ уравнения выше.

Равномерно нагруженные консольные балки

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Прогиб на свободном конце B консольной балки при равномерной нагрузке определяется выражением:^[1]

{ displaystyle delta _ {B} = { frac {qL ^ {4}} {8EI}}}

{ Displaystyle phi _ {B} = { гидроразрыва {qL ^ {3}} {6EI}}}

куда

{ displaystyle q}

= Равномерная нагрузка на балку (сила на единицу длины)

{ displaystyle L}

= Длина балки

{ displaystyle E}

= Модуль упругости

{ displaystyle I}

= Момент инерции площади поперечного сечения

Прогиб в любой точке, ${ displaystyle x}$ , вдоль пролета равномерно нагруженной консольной балки можно рассчитать по формуле:^[1]

{ displaystyle delta _ {x} = { frac {qx ^ {2}} {24EI}} (6L ^ {2} -4Lx + x ^ {2})}

{ displaystyle phi _ {x} = { frac {qx} {6EI}} (3L ^ {2} -3Lx + x ^ {2})}

Балки с простой опорой

Балки с простой опорой имеют опоры под своими концами, которые допускают вращение, но не отклонение.

Схема прогиба просто-балки.

Простые балки с центральной нагрузкой

Балка с простой опорой и силой в центре

Упругий прогиб (в средней точке C) балки, нагруженной в центре и поддерживаемой двумя простыми опорами, определяется выражением:^[1]

{ displaystyle delta _ {C} = { frac {FL ^ {3}} {48EI}}}

куда

{ displaystyle F}

= Сила, действующая на центр балки

{ displaystyle L}

= Длина балки между опорами

{ displaystyle E}

= Модуль упругости

{ displaystyle I}

= Момент инерции площади поперечного сечения

Прогиб в любой точке, ${ displaystyle x}$ , вдоль пролета центрально нагруженной свободно опертой балки можно рассчитать с помощью:^[1]

{ displaystyle delta _ {x} = { frac {Fx} {48EI}} (3L ^ {2} -4x ^ {2})}

за

{ displaystyle 0 leq x leq { frac {L} {2}}}

Несмещенные от центра простые балки

Балка с простой опорой и усилием вне центра

Максимальный упругий прогиб балки, поддерживаемой двумя простыми опорами, нагруженными на расстоянии ${ displaystyle a}$ от ближайшей поддержки, определяется:^[1]

{ displaystyle delta _ {max} = { frac {Fa (L ^ {2} -a ^ {2}) ^ {3/2}} {9 { sqrt {3}} LEI}}}

куда

{ displaystyle F}

= Сила, действующая на балку

{ displaystyle L}

= Длина балки между опорами

{ displaystyle E}

= Модуль упругости

{ displaystyle I}

= Момент инерции площади поперечного сечения

{ displaystyle a}

= Расстояние от груза до ближайшей опоры (т. Е.

{ Displaystyle а leq L / 2}

)

Это максимальное отклонение происходит на расстоянии ${ displaystyle x_ {1}}$ от ближайшей поддержки и определяется:^[1]

{ displaystyle x_ {1} = { sqrt { frac {L ^ {2} -a ^ {2}} {3}}}}

Равномерно нагруженные простые балки

Балка с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой

Упругий прогиб (в средней точке C) балки, поддерживаемой двумя простыми опорами, при равномерной нагрузке (как показано на рисунке) определяется выражением:^[1]

{ displaystyle delta _ {C} = { frac {5qL ^ {4}} {384EI}}}

Где

{ displaystyle q}

= Равномерная нагрузка на балку (сила на единицу длины)

{ displaystyle L}

= Длина балки

{ displaystyle E}

= Модуль упругости

{ displaystyle I}

= Момент инерции площади поперечного сечения

Прогиб в любой точке, ${ displaystyle x}$ , вдоль пролета равномерно нагруженной балки с опорой можно рассчитать по формуле:^[1]

{ displaystyle delta _ {x} = { frac {qx} {24EI}} (L ^ {3} -2Lx ^ {2} + x ^ {3})}

Изменение длины

Изменение длины ${ displaystyle Delta L}$ балки в конструкциях, как правило, пренебрежимо мал, но его можно рассчитать путем интегрирования уклона ${ displaystyle theta _ {x}}$ функция, если функция отклонения ${ displaystyle delta _ {x}}$ известен всем ${ displaystyle x}$ .

Где:

{ displaystyle Delta L}

= изменение длины (всегда отрицательное)

{ displaystyle theta _ {x}}

= функция наклона (первая производная от

{ displaystyle delta _ {x}}

)

{ displaystyle Delta L = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {L} ( theta (x)) ^ {2} dx}

^[2]

Если балка однородна и прогиб в любой точке известен, это можно рассчитать, не зная других свойств балки.

Единицы

Приведенные выше формулы требуют использования согласованного набора единиц. Большинство расчетов будет выполнено в Международная система единиц (СИ) или общепринятые единицы США, хотя существует множество других систем единиц.

Международная система (SI)

Сила: Ньютон (

{ displaystyle N}

)

Длина: метры ( ${ displaystyle m}$ )

Модуль упругости:

{ displaystyle { frac {N} {m ^ {2}}} (Па)}

Момент инерции:

{ displaystyle m ^ {4}}

Обычные единицы США (США)

Сила: фунты силы (

{ displaystyle lb_ {f}}

)

Длина: дюймы (

{ displaystyle in}

)

Модуль упругости:

{ displaystyle { frac {lb_ {f}} {в ^ {2}}}}

Момент инерции:

{ displaystyle в ^ {4}}

Другие

Могут использоваться и другие единицы, если они самосогласованы. Например, иногда килограмм-сила ( ${ displaystyle kg_ {f}}$ ) используется для измерения нагрузок. В таком случае модуль упругости должен быть преобразован в ${ displaystyle { frac {kg_ {f}} {m ^ {2}}}}$ .

Структурный прогиб

Строительные нормы и правила определить максимальный прогиб, обычно как дробная часть диапазона, например 1/400 или 1/600. Либо предельное состояние прочности (допустимое напряжение), либо предельное состояние эксплуатационной пригодности (среди прочего, соображения прогиба) могут определять минимальные размеры элемента.

Прогиб необходимо учитывать с точки зрения конструкции. При проектировании стальной каркас чтобы удерживать застекленную панель, допускается лишь минимальный прогиб, чтобы предотвратить перелом из стекла.

Отклоненную форму балки можно представить как момент диаграмма, интегрированная (дважды повернута и переведена для обеспечения соблюдения условий поддержки).

Смотрите также

внешняя ссылка

[gere-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j Гир, Джеймс М .; Гудно, Барри Дж. Механика материалов (Восьмое изд.). С. 1083–1087. ISBN 978-1-111-57773-5.

[2] Формулы Рорка для напряжения и деформации, 8-е издание, уравнение 8.1-14

[1]

[2]

Прогиб (инженерный) - Deflection (engineering)

Содержание

Прогиб балки при различных нагрузках и опорах

Консольные балки

Консольные балки с торцевой нагрузкой

Равномерно нагруженные консольные балки

Балки с простой опорой

Простые балки с центральной нагрузкой

Несмещенные от центра простые балки

Равномерно нагруженные простые балки

Изменение длины

Единицы

Международная система (SI)

Обычные единицы США (США)

Другие

Структурный прогиб

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка