Классовая аффинная группа - Residue-class-wise affine group

В математика особенно в теория групп, остаточный класс аффинныйгруппы уверены группы перестановок игра актеров на${ Displaystyle mathbb {Z}}$ (в целые числа ), элементы которого биективный остаточный класс аффинный сопоставления.

Отображение ${ displaystyle f: mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z}}$ называется остаточный класс аффинныйесли есть ненулевое целое число ${ displaystyle m}$ так что ограничения ${ displaystyle f}$к классы остатков (мод ${ displaystyle m}$) все аффинный. Это означает, что для класса anyresidue ${ Displaystyle г (м) в mathbb {Z} / м mathbb {Z}}$ есть коэффициенты${ displaystyle a_ {r (m)}, b_ {r (m)}, c_ {r (m)} in mathbb {Z}}$так что ограничение картографии ${ displaystyle f}$к набор ${ Displaystyle г (м) = {г + км середина к ин mathbb {Z} }}$ дан кем-то

${ displaystyle f | _ {r (m)}: r (m) rightarrow mathbb {Z}, n mapsto { frac {a_ {r (m)} cdot n + b_ {r (m) }} {c_ {r (m)}}}}$.

Аффинные группы по вычету счетный, и они доступны вычислительные исследования.Многие из них действуют умножаться транзитивно на ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ или на их подмножествах.

Особенно простой тип аффинных классов остатков перестановки являютсяперестановки классов: данный непересекающийся классы остатков ${ displaystyle r_ {1} (m_ {1})}$и ${ displaystyle r_ {2} (m_ {2})}$соответствующие перестановка классов это перестановка ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ который меняет местами ${ displaystyle r_ {1} + km_ {1}}$ и${ displaystyle r_ {2} + km_ {2}}$ для каждого ${ Displaystyle к в mathbb {Z}}$ и которыйисправления все остальное. Здесь предполагается, что${ displaystyle 0 leq r_ {1}$ и это ${ displaystyle 0 leq r_ {2}$.

Набор всех классовых транспозиций ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ генерирует счетный простая группа который имеет следующие свойства:

• Это не так конечно порожденный.
• Каждый конечная группа, каждый бесплатный продукт конечных групп и каждого свободная группа конечного ранга.
• Класс своего подгруппы закрыт при приеме прямые продукты, принимая венки с конечными группами и при ограниченном сплетении с бесконечными циклическая группа.
• В нем есть конечно порожденные подгруппы, не имеющие конечные презентации.
• Он имеет конечно порожденные подгруппы с алгоритмически неразрешимый проблема членства.
• Имеет бесчисленный ряд простых подгрупп, параметризованный наборами нечетных простые числа.

Несложно обобщить понятие аффинной группы по вычетам на группы, действующие на подходящих кольца Кроме как ${ Displaystyle mathbb {Z}}$, хотя пока сделано очень мало работы в этом направлении.

См. Также Гипотеза Коллатца, которое является утверждением о сюръективный,но нет инъективный аффинное отображение классов вычетов.

Ссылки и внешние ссылки

• Стефан Коль. Restklassenweise affine Gruppen. Диссертация, Штутгартский университет, 2005. Archivserver der Deutschen Nationalbibliothek OPUS-Datenbank (Университет Штутгарта)
• Стефан Коль. RCWA - Аффинные группы класса остатков. ЗАЗОР упаковка. 2005 г.
• Стефан Коль. Простая группа, порожденная инволюциями, меняющими классы остатков целых чисел. Математика. З. 264 (2010), нет. 4, 927–938. [1]