Аномалия четности - Parity anomaly

В теоретическая физика а квантовая теория поля говорят, что имеет аномалия четности если это классический действие инвариантен относительно замены паритет Вселенной, но квантовая теория не инвариантна.

Этот вид аномалия может встречаться в нечетномерных калибровочные теории с фермионы калибровочные группы которых имеют нечетные двойные числа Кокстера. Впервые они были представлены Антти Дж. Ниеми и Гордон Вальтер Семенофф в письме Фракционирование фермионов, вызванное осевыми аномалиями, и эффективные действия калибровочной теории в нечетномерном пространстве-времени и по А. Норман Редлих в письме Калибровочная неинвариантность и несохранение четности трехмерных фермионов и статья Нарушение четности и калибровочная неинвариантность действия эффективного калибровочного поля в трех измерениях. В некотором смысле это нечетномерная версия Эдвард Виттен с SU (2) аномалия в 4-х измерениях, и на самом деле Редлих пишет, что его демонстрация следует демонстрации Виттена.

Аномалия в 3-х измерениях

Рассмотрим классическую калибровочную теорию с инвариантной четностью, калибровочная группа G которой имеет двойственное число кокстера h в трехмерном пространстве. Включают п Майорана фермионы которые преобразуются под действием реальное представление Г. Эта теория наивно страдает ультрафиолетовое расхождение. Если включить калибровочно-инвариантный регулятор то инвариантность теории к квантовой четности будет нарушена, если час и п странные.

Эскиз демонстрации

Аномалия может быть только выбором знака

Рассмотрим, например, Регуляризация Паули – Вилларса. Нужно добавить п массивные майорановские фермионы с противоположной статистикой и уносят свои массы до бесконечности. Сложность возникает из-за того, что трехмерный массовый член Майорана ${ Displaystyle м { overline { psi}} psi}$ не является инвариантным по четности, поэтому существует вероятность того, что нарушение четности может сохраниться, когда масса стремится к бесконечности. Действительно, это источник аномалии.

Если п четно, то можно переписать п Майорановские фермионы как п/2 Фермионы Дирака. Они имеют инвариантные к четности массовые члены, и поэтому Паули-Вилларса можно использовать для регулирования расхождений, и аномалии четности не возникает. Поэтому даже для п аномалии нет. Более того, поскольку вклад 2n майорановских фермионов в функция распределения квадрат вклада п фермионов, квадрат вклада в аномалию п фермионы должны быть равны единице. Следовательно, аномальная фаза может быть равна только квадратному корню из единицы, другими словами, плюс или минус один. Если он равен единице, то аномалии нет. Следовательно, возникает вопрос, когда существует неоднозначность в статистической сумме множителя -1.

Аномалия из теоремы об индексе

Мы хотим знать, когда выбор знака статистической суммы не определен. Вероятность того, что он будет некорректно определен, существует, потому что действие содержит фермионный кинетический член

${ Displaystyle я { overline { psi}} ( partial _ { mu} + A _ { mu}) Gamma ^ { mu} psi}$

где ψ - майорановский фермион, а A - векторный потенциал. в интеграл по путям, экспонента действия интегрируется по всем полям. Интегрируя указанный выше член по фермионным полям, получаем множитель квадратный корень из детерминант из Оператор Дирака для каждого из п Майорановские фермионы.

Как это обычно бывает с квадратным корнем, нужно определить его знак. Общая фаза статистической суммы не является наблюдаемый в квантовой механике, и поэтому для данной конфигурации этот выбор знака может быть сделан произвольно. Но нужно убедиться, что выбор знака согласован. Для этого деформируем конфигурацию через конфигурационное пространство, на пути, который в конечном итоге возвращается к исходной конфигурации. Если выбор знака был последовательным, то, вернувшись к исходной конфигурации, вы получите исходный знак. Это то, что нужно проверить.

Исходное пространство-время трехмерно, назовем его пространством M. Теперь мы рассматриваем круг в конфигурационном пространстве, что то же самое, что и отдельная конфигурация в пространстве. ${ Displaystyle M раз S ^ {1}}$. Чтобы узнать, сколько раз знак квадратного корня исчезает при обходе круга, достаточно подсчитать количество нулей определителя на ${ Displaystyle M раз S ^ {1}}$, потому что каждый раз, когда пара собственные значения меняет знак будет ноль. Обратите внимание, что собственные значения идут парами, как, например, обсуждается в Суперсимметричный индекс трехмерной калибровочной теории, и поэтому всякий раз, когда одно собственное значение пересекает ноль, пересекаются два.

Подводя итог, мы хотим знать, сколько раз знак квадратного корня из определителя оператора Дирака меняет знак как единица кругосветное плавание круг. Собственные значения оператора Дирака входят парами, и знак меняется каждый раз, когда пара пересекает ноль. Таким образом, мы считаем нули оператора Дирака на пространстве ${ Displaystyle M раз S ^ {1}}$. Эти нули считаются Теорема Атьи-Зингера об индексе, что дает ответ h раз второй Черн класс калибровочного пучка над ${ Displaystyle M раз S ^ {1}}$. Этот второй класс Черна может быть любым целым числом. В частности, это может быть один, и в этом случае знак меняется h раз. Если знак меняется нечетное количество раз, то статистическая сумма определена некорректно и, следовательно, возникает аномалия.

В заключение мы обнаружили, что существует аномалия, если число п фермионов Майорана нечетно и если двойственное число Кокстера h калибровочной группы также нечетно.

Калибровочные теории Черна – Саймонса.

3-х мерный Калибровочные теории Черна – Саймонса. также аномальны, когда их уровень является полуцелым. Фактически, вывод идентичен приведенному выше. С помощью Теорема Стокса и тот факт, что внешняя производная от Действие Черна – Саймонса равно Немедленное включение числа, 4-мерная теория на ${ Displaystyle M раз S ^ {1}}$ имеет тета угол равняется уровню теории Черна – Саймонса, поэтому 4-мерная статистическая сумма равна -1 именно тогда, когда инстантонное число нечетно. Это означает, что трехмерная статистическая сумма не определена с коэффициентом -1 при рассмотрении деформаций на пути с нечетным числом инстантонов.

Условия дробного квантования

В частности, аномалии, исходящие от фермионов и членов полууровня Черна – Саймонса, будут сокращаться тогда и только тогда, когда число майорановских фермионов плюс удвоенный уровень Черна – Саймонса будет четным. В случае n = 1 это утверждение является условием полуцелого квантования в ${ Displaystyle { mathcal {N}} = 1}$ суперсимметричные калибровочные теории Черна – Саймонса, представленные в Коэффициент Черна-Саймонса в суперсимметричных теориях Янга-Миллса, Черна-Саймонса. При n = 2 этот вклад в статистическую сумму был найден в ${ Displaystyle { mathcal {N}} = 2}$ и 3 калибровочные теории в Брана и нарушение суперсимметрии в трехмерных калибровочных теориях.

Однопетлевые поправки к уровню Черна – Саймонса.

Тот факт, что и члены Черна – Саймонса, и майорановские фермионы являются аномальными по отношению к деформациям с нечетными числами инстантонов, не является совпадением. Когда месса Паули-Вилларса для п Фермионы Майораны уносятся на бесконечность, Редлих обнаружил, что оставшийся вклад в статистическую сумму равен члену Черна – Саймонса на уровне -п/ 2. Это, в частности, означает, что интеграция п заряженные майорановские фермионы перенормирует уровень Черна – Саймонса соответствующей калибровочной теории:п/ 2. Тот факт, что уровень Черна – Саймонса может принимать только дискретные значения, означает, что константа связи не могу войти в коррекцию до уровня. Это происходит только для 1-петлевой поправки, поэтому вклад майорановских фермионов в уровень Черна – Саймонса может быть точно рассчитан на 1-петлевой поправке, и все более высокие петлевые поправки исчезают.