Местное время (математика) - Local time (mathematics) - Wikipedia

Примерный путь процесса Itō вместе с его поверхностью местного времени.

в математический теория случайные процессы, местное время случайный процесс, связанный с семимартингал такие процессы как Броуновское движение, который характеризует количество времени, которое частица провела на заданном уровне. Местное время отображается в различных стохастическая интеграция формулы, такие как Формула Танаки, если подынтегральное выражение недостаточно гладкое. Это также изучается в статистической механике в контексте случайные поля.

Формальное определение

Для непрерывного вещественного семимартингала , местное время в момент - случайный процесс, который неформально определяется

куда это Дельта-функция Дирака и это квадратичная вариация. Это понятие изобретено Поль Леви. Основная идея заключается в том, что является (соответствующим образом масштабируемым и параметризованным по времени) показателем того, сколько времени провел в до времени . Более строго, это можно записать как почти верный предел

которые всегда можно показать. Обратите внимание, что в частном случае броуновского движения (или, в более общем смысле, действительного значения распространение формы куда - броуновское движение), член просто сводится к , что объясняет, почему оно называется местным временем в . Для дискретного процесса в пространстве состояний , местное время можно выразить проще как[1]

Формула Танаки

Формула Танаки также дает определение местного времени для произвольного непрерывного семимартингала. на [2]

Более общая форма была независимо доказана Мейером.[3] и Ванга;[4] формула расширяет лемму Ито для дважды дифференцируемых функций на более общий класс функций. Если абсолютно непрерывна с производной имеющего ограниченную вариацию, то

куда - левая производная.

Если является броуновским движением, то для любого поле местного времени имеет модификацию a.s. Гёльдера непрерывно в с показателем , равномерно для ограниченного и .[5] В целом, имеет модификацию a.s. непрерывно в и càdlàg в .

Формула Танаки дает явное Разложение Дуба – Мейера для одномерного отражающего броуновского движения .

Теоремы Рэя – Найта

Поле местного времени связанный со случайным процессом в пространстве - хорошо изученная тема в области случайных полей. Теоремы типа Рэя – Найта связывают поле Lт ассоциированному Гауссовский процесс.

В общем случае теоремы типа Рэя – Найта первого рода рассматривают поле Lт во время достижения основного процесса, в то время как теоремы второго типа выражаются в терминах времени остановки, при котором поле местного времени сначала превышает заданное значение.

Первая теорема Рэя – Найта.

Позволять (Bт)т ≥ 0 - одномерное броуновское движение, начавшееся с B0 = а > 0 и (Wт)т≥0 - стандартное двумерное броуновское движение W0 = 0 ∈ р2. Определите время остановки, в которое B сначала попадает в начало, . Рэй[6] и рыцарь[7] (независимо) показали, что

 

 

 

 

(1)

куда (Lт)т ≥ 0 - поле местного времени (Bт)т ≥ 0, а равенство находится в распределении на C[0, а]. Процесс |WИкс|2 известен как квадрат Бесселевский процесс.

Вторая теорема Рэя – Найта.

Позволять (Bт)т ≥ 0 - стандартное одномерное броуновское движение B0 = 0 ∈ р, и разреши (Lт)т ≥ 0 быть связанным полем местного времени. Позволять Та быть первым, когда местное время в ноль превышает а > 0

Позволять (Wт)т ≥ 0 - независимое одномерное броуновское движение, начавшееся с W0 = 0, то[8]

 

 

 

 

(2)

Эквивалентно процесс (который является процессом в пространственной переменной ) равна по распределению квадрату 0-мерного Бесселевский процесс, и как таковой является марковским.

Обобщенные теоремы Рэя – Найта.

Результаты типа Рэя – Найта для более общих случайных процессов интенсивно изучаются, и аналогичные утверждения обоих (1) и (2) известны для сильно симметричных марковских процессов.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стивен (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer.
  2. ^ Калленберг (1997). Основы современной вероятности. Нью-Йорк: Спрингер. стр.428 –449. ISBN  0387949577.
  3. ^ Мейер, Поль-Андре (2002) [1976]. "Un Cours Sur les intégrales stochastiques". Seminaire de probabilités 1967–1980. Lect. Заметки по математике. 1771. С. 174–329. Дои:10.1007/978-3-540-45530-1_11. ISBN  978-3-540-42813-8.
  4. ^ Ван (1977). «Обобщенная формула Ито и аддитивные функционалы броуновского движения». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 41 (2): 153–159. Дои:10.1007 / bf00538419. S2CID  123101077.
  5. ^ Калленберг (1997). Основы современной вероятности. Нью-Йорк: Спрингер. стр.370. ISBN  0387949577.
  6. ^ Рэй, Д. (1963). «Время пребывания диффузионного процесса». Иллинойсский журнал математики. 7 (4): 615–630. Дои:10.1215 / ijm / 1255645099. МИСТЕР  0156383. Zbl  0118.13403.
  7. ^ Найт, Ф. Б. (1963). «Случайные блуждания и процесс плотности пребывания броуновского движения». Труды Американского математического общества. 109 (1): 56–86. Дои:10.2307/1993647. JSTOR  1993647.
  8. ^ Маркус; Розен (2006). Марковские процессы, гауссовские процессы и локальные времена. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.53 –56. ISBN  0521863007.

Рекомендации

  • К. Л. Чанг и Р. Дж. Уильямс, Введение в стохастическую интеграцию, 2-е издание, 1990 г., Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-3386-8.
  • М. Маркус и Дж. Розен, Марковские процессы, гауссовские процессы и локальные времена, 1-е издание, 2006 г., Cambridge University Press ISBN  978-0-521-86300-1
  • П. Мортирс, Ю. Перес, Броуновское движение, 1-е издание, 2010 г., Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-76018-8.