Закон нуля – единицы Колмогорова - Kolmogorovs zero–one law - Wikipedia

В теория вероятности, Закон нуля или единицы Колмогорова, названный в честь Андрей Николаевич Колмогоров, указывает, что определенный тип мероприятие, называется хвостовое событие, будет либо почти наверняка случится или почти наверняка не случится; это вероятность такого события равно нулю или единице.

События хвоста определяются в терминах бесконечного последовательности из случайные переменные. Предполагать

это бесконечная последовательность независимый случайные величины (не обязательно одинаково распределенные). Позволять быть σ-алгебра генерируется . Затем хвостовое событие это событие, которое вероятностно независимый каждого конечного подмножества этих случайных величин. (Примечание: принадлежащий подразумевает, что членство в однозначно определяется значениями но последнее условие является строго более слабым и недостаточным для доказательства закона нуля или единицы.) Например, событие, когда последовательность сходится, и событие, когда ее сумма сходится, являются хвостовыми событиями. В бесконечной последовательности подбрасываний монеты последовательность из 100 последовательных голов, повторяющихся бесконечно много раз, является событием хвоста.

Хвостовые события - это как раз те события, возникновение которых еще можно определить, если произвольно большой, но конечный начальный сегмент удален.

Во многих ситуациях можно легко применить закон нуля или единицы Колмогорова, чтобы показать, что некоторое событие имеет вероятность 0 или 1, но на удивление трудно определить. который из этих двух крайних значений является правильным.

Формулировка

Более общая формулировка закона нуля или единицы Колмогорова верна для последовательностей независимых σ-алгебр. Пусть (Ω,F,п) быть вероятностное пространство и разреши Fп - последовательность взаимно независимых σ-алгебр, содержащихся в F. Позволять

наименьшая σ-алгебра, содержащая Fп, Fп+1,…. Тогда закон нуля или единицы Колмогорова утверждает, что для любого события

есть либо п(F) = 0 или 1.

Формулировка закона в терминах случайных величин получается из последних, если взять каждую Fп быть σ-алгеброй, порожденной случайной величиной Иксп. Тогда по определению хвостовое событие является событием, которое измеримо относительно σ-алгебры, порожденной всеми Иксп, но который не зависит от конечного числа Иксп. То есть хвостовое событие - это как раз элемент пересечения .

Примеры

An обратимый сохраняющее меру преобразование на стандартное вероятностное пространство который подчиняется закону 0-1, называется Колмогоровский автоморфизм.[требуется разъяснение ] Все Автоморфизмы Бернулли являются автоморфизмами Колмогорова, но не наоборот.

Смотрите также

Рекомендации

  • Строок, Дэниел (1999). Теория вероятностей: аналитический взгляд (переработанная ред.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-66349-6..
  • Бжезняк, Здзислав; Заставняк, Thomasz (2000). Основные случайные процессы. Springer. ISBN  3-540-76175-6.
  • Розенталь, Джеффри С. (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО п.37. ISBN  978-981-270-371-2.

внешняя ссылка

  • Наследие Андрея Николаевича Колмогорова Биографическая справка и биография. Колмогоровское училище. Кандидат наук. ученики и потомки А. Н. Колмогорова. А. Н. Колмогорова произведения, книги, статьи, статьи. Фотографии и портреты А. Н. Колмогорова.