Заболеваемость (геометрия) - Incidence (geometry) - Wikipedia

В геометрия, заболеваемость связь это гетерогенное отношение который отражает идею, выражаемую, когда такие фразы, как "точка" лежит на линия "или" линия содержалась в плоскости ". Самое основное отношение инцидентности - это отношение между точкой, п, и линия, л, иногда обозначается п я л. Если п я л пара (п, л) называется флаг. В обыденном языке есть много выражений для описания случаев (например, линия проходит через точка, точка лежит в плоскость и т. д.), но термин «падение» является предпочтительным, потому что он не имеет дополнительных коннотаций, которые имеют эти другие термины, и его можно использовать симметрично. Заявления, такие как "строка л₁ пересекает линию л₂"также являются утверждениями об отношениях инцидентности, но в данном случае это потому, что это сокращенный способ сказать, что" существует точка п это инцидент с обеими линиями л₁ и линия л₂". Когда один тип объекта может рассматриваться как набор другого типа объекта (а именно., плоскость - это множество точек), то отношение инцидентности можно рассматривать как сдерживание.

Такие утверждения, как «любые две линии на плоскости пересекаются» называются предположения о заболеваемости. Это конкретное утверждение верно в проективная плоскость, хотя это не так в Евклидова плоскость где линии могут быть параллельно. Исторически, проективная геометрия был разработан для того, чтобы сделать утверждения о происхождении истинными без исключений, например, вызванных существованием параллелей. С точки зрения синтетическая геометрия, проективная геометрия должно быть разработаны с использованием таких предложений, как аксиомы. Это наиболее важно для проективных плоскостей из-за универсальной применимости Теорема дезарга в высших измерениях.

Напротив, аналитический подход заключается в определении проективное пространство на основе линейная алгебра и используя однородные координаты. Утверждения о происхождении выводятся из следующего основного результата о векторные пространства: заданные подпространства U и W (конечномерного) векторного пространства V, размерность их пересечения равна тусклый U + тусклый W - тусклый (U + W). Принимая во внимание, что геометрическая размерность проективного пространства п(V) связано с V является тусклый V − 1 и что геометрическая размерность любого подпространства положительна, основное утверждение инцидентности в этой ситуации может принимать форму: линейные подпространства L и M проективного пространства п встретиться при условии тусклый L + тусклый M ≥ тусклый п.^[1]

Следующие разделы ограничены проективные плоскости определяется по поля, часто обозначаемый PG (2, F), куда F это поле, или п²F. Однако эти вычисления могут быть естественным образом распространены на проективные пространства большей размерности, и поле может быть заменено на делительное кольцо (или тело) при условии, что обращают внимание на то, что умножение не коммутативный в таком случае.

PG (2,F)

Позволять V - трехмерное векторное пространство, определенное над полем F. Проективная плоскость п(V) = PG (2, F) состоит из одномерных векторных подпространств V называется точки и двумерные векторные подпространства V называется линии. Случайность точки и линии задается включением одномерного подпространства в двумерное подпространство.

Закрепить основу для V так что мы можем описать его векторы как троек координат (относительно этого базиса). Одномерное векторное подпространство состоит из ненулевого вектора и всех его скалярных кратных. Ненулевые скалярные кратные, записанные в виде троек координат, представляют собой однородные координаты данной точки, называемые координаты точки. Относительно этого базиса пространство решений одного линейного уравнения {(Икс, у, z) | топор + к + cz = 0} - двумерное подпространство в V, и, следовательно, строка п(V). Эту линию можно обозначить как координаты линии [а, б, c] которые также являются однородными координатами, поскольку ненулевые скалярные кратные дадут ту же линию. Также широко используются другие обозначения. Координаты точек могут быть записаны как векторы-столбцы, (Икс, у, z)^Т, с двоеточиями, (Икс : у : z), или с нижним индексом, (Икс, у, z)_п. Соответственно, координаты линии могут быть записаны как векторы-строки, (а, б, c), с двоеточиями, [а : б : c] или с нижним индексом, (а, б, c)_L. Возможны и другие варианты.

Алгебраически выраженная заболеваемость

Учитывая точку п = (Икс, у, z) и линия л = [а, б, c], записанные в терминах координат точки и линии, точка инцидентна линии (часто записывается как п я л), если и только если,

топор + к + cz = 0.

Это может быть выражено в других обозначениях как:

${ displaystyle ax + by + cz = [a, b, c] cdot (x, y, z) = (a, b, c) _ {L} cdot (x, y, z) _ {P} знак равно$

${ displaystyle = [a: b: c] cdot (x: y: z) = (a, b, c) left ({ begin {matrix} x y z end {matrix}} right) = 0.}$

Независимо от того, какие обозначения используются, когда однородные координаты точки и линии рассматриваются просто как упорядоченные тройки, их инцидентность выражается как имеющие их скалярное произведение равно 0.

Линия, инцидентная паре различных точек

Позволять п₁ и п₂ - пара различных точек с однородными координатами (Икс₁, у₁, z₁) и (Икс₂, у₂, z₂) соответственно. Эти точки определяют уникальную линию л с уравнением вида топор + к + cz = 0 и должен удовлетворять уравнениям:

топор₁ + к₁ + cz₁ = 0 и

топор₂ + к₂ + cz₂ = 0.

В матричной форме эта система одновременных линейных уравнений может быть выражена как:

${ displaystyle left ({ begin {matrix} x & y & z x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} a b c end {matrix}} right) = left ({ begin {matrix} 0 0 0 end {matrix}} right ).}$

Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда детерминант,

${ displaystyle left | { begin {matrix} x & y & z x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} end {matrix}} right | = 0.}$

Расширение этого детерминантного уравнения дает однородное линейное уравнение, которое должно быть уравнением прямой л. Следовательно, с точностью до обычного ненулевого постоянного множителя имеем л = [а, б, c] куда:

а = у₁z₂ - у₂z₁,

б = Икс₂z₁ - Икс₁z₂, и

c = Икс₁у₂ - Икс₂у₁.

Что касается скалярное тройное произведение обозначение векторов, уравнение этой линии может быть записано как:

п ⋅ п₁ × п₂ = 0,

куда п = (Икс, у, z) - точка общего положения.

Коллинеарность

Точки, входящие в одну линию, называются коллинеарен. Множество всех точек, инцидентных одной прямой, называется классифицировать.

Если п₁ = (Икс₁, у₁, z₁), п₂ = (Икс₂, у₂, z₂), и п₃ = (Икс₃, у₃, z₃), то эти точки коллинеарны тогда и только тогда, когда

${ displaystyle left | { begin {matrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} x_ {3} & y_ {3} & z_ { 3} end {matrix}} right | = 0,}$

т.е. тогда и только тогда, когда детерминант однородных координат точек равна нулю.

Пересечение пары линий

Позволять л₁ = [а₁, б₁, c₁] и л₂ = [а₂, б₂, c₂] пара различных прямых. Тогда пересечение прямых л₁ и л₂ это точка п = (Икс₀, у₀, z₀) то есть одновременное решение (с точностью до скалярного множителя) системы линейных уравнений:

а₁Икс + б₁у + c₁z = 0 и

а₂Икс + б₂у + c₂z = 0.

Решение этой системы дает:

Икс₀ = б₁c₂ - б₂c₁,

у₀ = а₂c₁ - а₁c₂, и

z₀ = а₁б₂ - а₂б₁.

В качестве альтернативы рассмотрите другую строку л = [а, б, c] проходя через точку п, то есть однородные координаты п удовлетворяют уравнению:

топор+ к + cz = 0.

Объединяя это уравнение с двумя, которые определяют п, можно искать нетривиальное решение матричного уравнения:

${ displaystyle left ({ begin {matrix} a & b & c a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x y z end {matrix}} right) = left ({ begin {matrix} 0 0 0 end {matrix}} right ).}$

Такое решение существует при условии, что определитель

${ displaystyle left | { begin {matrix} a & b & c a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} end {matrix}} right | = 0.}$

Коэффициенты при а, б и c в этом уравнении задают однородные координаты п.

Уравнение общей прямой, проходящей через точку п в обозначении скалярного тройного произведения:

л ⋅ л₁ × л₂ = 0.

Совпадение

Линии, которые встречаются в одной точке, называются одновременный. Множество всех прямых на плоскости, инцидентных одной и той же точке, называется карандаш линий сосредоточен в этой точке. Вычисление пересечения двух прямых показывает, что весь пучок прямых с центром в точке определяется любыми двумя линиями, пересекающимися в этой точке. Отсюда сразу следует, что алгебраическое условие для трех прямых [а₁, б₁, c₁], [а₂, б₂, c₂], [а₃, б₃, c₃] быть параллельным в том, что определитель,

${ displaystyle left | { begin {matrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} a_ {3} & b_ {3} & c_ { 3} end {matrix}} right | = 0.}$

Смотрите также

• Теорема Менелая
• Теорема Чевы
• Concyclic
• Матрица заболеваемости
• Алгебра инцидентности
• Структура заболеваемости
• Геометрия падения
• Граф Леви
• Аксиомы Гильберта

Рекомендации

• Гарольд Л. Дорварт (1966) Геометрия падения, Prentice Hall.