Гиперсимплекс - Hypersimplex
 |  |
| (3,1) Гиперплоскость: Икс + у + z = 1 | (3,2) Гиперплоскость: Икс + у + z = 2 |
|---|
В многогранная комбинаторика, а гиперсимплекс, Δd,k, это выпуклый многогранник это обобщает симплекс. Определяется двумя параметрами d и k, и определяется как выпуклый корпус из d-размерный векторов коэффициенты которого состоят из k те и d − k нули. Он образует (d - 1) -мерный многогранник, поскольку все эти векторы лежат в одном (d - 1) -мерный гиперплоскость.[1]
Характеристики
Количество вершин в ∆d,k является .[1]
Граф, образованный вершинами и ребрами гиперсимплекса ∆d,k это Граф Джонсона J(d,k).[2]
Альтернативные конструкции
Альтернативная конструкция (для k ≤ d/ 2) состоит в том, чтобы взять выпуклую оболочку всех (d - 1) -мерные (0,1) -векторы, имеющие либо (k - 1) или k ненулевые координаты. Преимущество этого метода заключается в том, что он работает в пространстве того же измерения, что и результирующий многогранник, но недостатком является то, что многогранник, который он создает, менее симметричен (хотя комбинаторно эквивалентен результату другой конструкции).
Гиперсимплекс Δd,k также матроидный многогранник для униформа матроид с d элементы и ранг k.[3]
Примеры
Гиперсимплекс с параметрами (d, 1) является (d - 1) -суплекс, с d вершин. Гиперсимплекс с параметрами (4,2) является октаэдр, а гиперсимплекс с параметрами (5,2) является выпрямленный 5-элементный.
Как правило, каждые (k,d) -гиперсимплекс, Δd,k, соответствует равномерный многогранник, будучи (k − 1)-исправленный (d - 1) -симплекс, вершины которого расположены в центрах всех (k - 1) -элементы грани (d - 1) -симплекс.
| Имя | Равносторонний треугольник | Тетраэдр (3-симплекс) | Октаэдр | 5-элементный (4-симплексный) | Исправленный 5-элементный | 5-симплекс | Исправленный 5-симплекс | Двунаправленный 5-симплекс |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Δd,k = (d,k) = (d,d − k) | (3,1) (3,2) | (4,1) (4,3) | (4,2) | (5,1) (5,4) | (5,2) (5,3) | (6,1) (6,5) | (6,2) (6,4) | (6,3) |
| Вершины | 3 | 4 | 6 | 5 | 10 | 6 | 15 | 20 |
| d-координаты | (0,0,1) (0,1,1) | (0,0,0,1) (0,1,1,1) | (0,0,1,1) | (0,0,0,0,1) (0,1,1,1,1) | (0,0,0,1,1) (0,0,1,1,1) | (0,0,0,0,0,1) (0,1,1,1,1,1) | (0,0,0,0,1,1) (0,0,1,1,1,1) | (0,0,0,1,1,1) |
| Изображение |  |  |  |  |  | |||
| Графики |  J(3,1) = K2 |  J(4,1) = K3 |  J(4,2) = Т (6,3) |  J(5,1) = K4 |  J(5,2) |  J(6,1) = K5 |  J(6,2) |  J(6,3) |
| Coxeter диаграммы |    | | | | | | | |
| Schläfli символы | {3} = р{3} | {3,3} = 2р{3,3} | г {3,3} = {3,4} | {3,3,3} = 3р{3,3,3} | р{3,3,3} = 2р{3,3,3} | {3,3,3,3} = 4р{3,3,3,3} | р{3,3,3,3} = 3р{3,3,3,3} | 2р{3,3,3,3} |
| Грани | { } | {3} | {3,3} | {3,3}, {3,4} | {3,3,3} | {3,3,3}, р{3,3,3} | р{3,3,3} | |
История
Гиперсимплексы были впервые изучены и названы при вычислении характеристические классы (важная тема в алгебраическая топология ), к Габриэлов, Гельфанд и Лосик (1975).[4][5]
Рекомендации
- ^ а б Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд, Геометрическая комбинаторика, IAS / Серия математических наук Парк-Сити, 13, Американское математическое общество, стр. 655, г. ISBN 9780821886953.
- ^ Рисполи, Фред Дж. (2008), График гиперсимплекса, arXiv:0811.2981, Bibcode:2008arXiv0811.2981R.
- ^ Грётшель, Мартин (2004), "Системы однородных множеств мощности, циклы в матроидах и ассоциированные многогранники", Самый резкий монтаж: влияние Манфреда Падберга и его работы, MPS / SIAM Ser. Optim., SIAM, Филадельфия, Пенсильвания, стр. 99–120, МИСТЕР 2077557. См., В частности, примечания после предложения 8.20 на п. 114.
- ^ Габриэлов, А. М .; Гельфанд, И.М.; Лосик, М. В. (1975), "Комбинаторное вычисление характеристических классов. I, II", Академия Наук СССР, 9 (2): 12–28, там же. 9 (1975), нет. 3, 5–26, МИСТЕР 0410758.
- ^ Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам, Тексты для выпускников по математике, 152, Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 20, Дои:10.1007/978-1-4613-8431-1, ISBN 0-387-94365-X, МИСТЕР 1311028.
дальнейшее чтение
- Хиби, Такаяки; Солус, Лиам (2014), Грани р-стабильный п,k-гиперсимплекс, arXiv:1408.5932, Bibcode:2014arXiv1408.5932H.