Ороцикл - Horocycle - Wikipedia

Синий орицикл в Модель диска Пуанкаре и немного красных нормалей. Нормали асимптотически сходятся к верхней центральной идеальная точка.

В гиперболическая геометрия, а орицикл (Греческий: ὅριον + κύκλος - граница + круг, иногда называемый орицикл, oricircle, или же ограничить круг) - кривая, нормальный или же перпендикуляр все геодезические асимптотически сходятся в одном направлении. Это двумерный пример горосфера (или же Орисфера).

Центр орицикла - это идеальная точка где все нормальные геодезические асимптотически сходятся. Два орицикла с одним центром концентрический Хотя кажется, что два концентрических орицикла не могут иметь одинаковую длину или кривизну, на самом деле любые два орицикла конгруэнтный.

Орицикл также можно описать как предел кругов, имеющих общую касательную в данной точке, так как их радиусы идут в сторону бесконечность. В Евклидова геометрия такой «круг бесконечного радиуса» был бы прямой линией, но в гиперболической геометрии это орицикл (кривая).

С выпуклой стороны орицикл аппроксимируется гиперциклы расстояния от оси которых стремятся к бесконечности.

Характеристики

Гиперболический апейрогон example.png
  • Через каждую пару точек проходит по 2 орицикла. Центры орициклов - идеальные точки серединного перпендикуляра отрезка между ними.
  • Никакие три точки орицикла не лежат на прямой, окружности или гиперцикле.
  • А прямая линия, круг, гиперцикл, или другой орицикл разрезает орицикл не более чем в двух точках.
  • Серединный перпендикуляр к аккорд орицикла это нормальный орицикла и делит дугу, образованную хордой, пополам.
  • В длина дуги орицикла между двумя точками составляет:
длиннее, чем длина отрезка между этими двумя точками,
длиннее, чем длина дуги гиперцикла между этими двумя точками и
короче, чем длина любой дуги окружности между этими двумя точками.
  • Расстояние от орицикла до его центра бесконечно, и хотя в некоторых моделях гиперболической геометрии кажется, что два «конца» орицикла становятся все ближе и ближе друг к другу и ближе к его центру, это неверно; два «конца» орицикла удаляются все дальше и дальше друг от друга.
  • Обычный апейрогон описывается либо орициклом, либо гиперциклом.
  • Если C центр орицикла и А и B точки на орицикле, то углы ТАКСИ и CBA равны.[1]
  • Площадь сектора орицикла (область между двумя радиусами и орициклом) конечна.[2]

Стандартизированная гауссова кривизна

Когда гиперболическая плоскость имеет стандартизованный Гауссова кривизна K из −1:

  • В длина s дуги орицикла между двумя точками составляет:
куда d это расстояние между двумя точками, а sinh и ch являются гиперболические функции.[3]
  • Длина дуги орицикла такая, что касательная на одном конце равна предельная параллель к радиусу через другой конец равен 1.[4] площадь, заключенная между этим орициклом и радиусами, равна 1.[5]
  • Отношение длин дуги между двумя радиусами двух концентрических орициклов, где орициклы находятся на расстоянии 1 друг от друга, равно е  : 1.[6]

Представления в моделях гиперболической геометрии

В апейрогональная мозаика порядка 3, {∞, 3}, заполняет гиперболическую плоскость апейрогоны вершины которых существуют на орициклических путях.

Модель диска Пуанкаре

в Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости орициклы представлены кружками касательная По отношению к граничному кругу центр орицикла - это идеальная точка, в которой орицикл касается граничного круга.

В компас и линейка двух орициклов через две точки - это та же конструкция конструкции CPP для Частные случаи проблемы Аполлония где обе точки находятся внутри круга.

Модель полуплоскости Пуанкаре

в Модель полуплоскости Пуанкаре, орициклы представлены окружностями, касающимися линии границы, и в этом случае их центром является идеальная точка, в которой окружность касается линии границы.

Когда центр орицикла является идеальной точкой на тогда орицикл представляет собой линию, параллельную граничной линии.

В компас и линейка в первом случае это та же конструкция, что и конструкция LPP для Частные случаи проблемы Аполлония.

Модель гиперболоида

в модель гиперболоида они представлены пересечениями гиперболоида с плоскостями, нормаль которых лежит в асимптотическом конусе.

Метрическая

Если метрика нормализована, чтобы иметь Гауссова кривизна −1, то орицикл является кривой геодезическая кривизна 1 в каждой точке.

Смотрите также

Круги в Аполлонийская прокладка касательные к внешней окружности можно рассматривать как орициклы в Модель диска Пуанкаре

Рекомендации

  1. ^ Сосинский, А. (2012). Геометрии. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. С. 141–2. ISBN  9780821875711.
  2. ^ Кокстер, H.S.M. (1998). Неевклидова геометрия (6. изд.). Вашингтон, округ Колумбия: доц. Математики. Америки. стр.243 –244. ISBN  978-0-88385-522-5.
  3. ^ Смогоржевский (1976). Геометрия Лобачевского. Москва: Мир. п. 65.
  4. ^ Соммервилль, Д. (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Unabr. И неизмен. Изд. Изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ISBN  0-486-44222-5.
  5. ^ Кокстер, H.S.M. (1998). Неевклидова геометрия (6. изд.). Вашингтон, округ Колумбия: доц. Математики. Америки. п.250. ISBN  978-0-88385-522-5.
  6. ^ Соммервилль, Д. (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Unabr. И неизмен. Изд. Изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ISBN  0-486-44222-5.