График Хигмана – Симса - Higman–Sims graph - Wikipedia

График Хигмана – Симса
Higman Sims Graph.svg
Рисунок основан на конструкции Пола Р. Хафнера.[1]
Названный в честьДональд Г. Хигман
Чарльз С. Симс
Вершины100
Края1100
Радиус2
Диаметр2
Обхват4
Автоморфизмы88,704,000 (HS:2)
ХарактеристикиСильно регулярный
Edge-транзитивный
Гамильтониан
Эйлеров
Таблица графиков и параметров
Отдельные части конструкции Хафнера.

В математике теория графов, то График Хигмана – Симса это 22-обычный неориентированный граф со 100 вершинами и 1100 ребрами. Это уникальный сильно регулярный граф srg (100,22,0,6), т.е. никакая соседняя пара вершин не имеет общего соседа, а каждая несоседняя пара вершин имеет шесть общих соседей.[2] Он был впервые построен Меснер (1956) и вновь открыта в 1968 году Дональдом Г. Хигманом и Чарльзом Симсом как способ определения Группа Хигмана – Симса, и эта группа является подгруппой индекс два в группе автоморфизмов графа Хигмана – Симса.[3]

Строительство

Из графика M22

Возьми График M22, а сильно регулярный граф srg (77,16,0,4) и дополним его 22 новыми вершинами, соответствующими точкам S (3,6,22), каждый блок соединен со своими точками, и одна дополнительная вершина C подключено к 22 точкам.

Из графика Хоффмана – Синглтона

Всего 100 независимые множества размера 15 в Граф Хоффмана – Синглтона. Создайте новый граф со 100 соответствующими вершинами и соедините вершины, соответствующие независимые множества которых имеют ровно 0 или 8 общих элементов. Полученный граф Хигмана – Симса можно разделить на две копии Граф Хоффмана – Синглтона 352 способами.

Из куба

Возьмите куб с вершинами, обозначенными 000, 001, 010, ..., 111. Возьмите все 70 возможных 4-наборов вершин и оставьте только те, у которых XOR оценивается в 000; имеется 14 таких 4-множеств, соответствующих 6 граням + 6 диагональным прямоугольникам + 2 тетраэдрам четности. Это 3- (8,4,1) блочная конструкция на 8 точках, с 14 блоками размером 4 блока, каждая точка появляется в 7 блоках, каждая пара точек появляется 3 раза, каждая тройка точек встречается ровно один раз. Переставьте исходные 8 вершин в любую из 8! = 40320 способов и отбросьте дубликаты. Затем существует 30 различных способов переименовать вершины (т. Е. 30 различных схем, которые все изоморфны друг другу путем перестановки точек). Это потому, что существует 1344 автоморфизмы и 40320/1344 = 30.

Создайте вершину для каждого из 30 дизайнов и для каждой строки каждого дизайна (всего таких строк 70, каждая строка представляет собой 4 набора из 8 и появляется в 6 дизайнах). Соедините каждую конструкцию с ее 14 рядами. Соединяйте непересекающиеся дизайны друг с другом (каждый дизайн не пересекается с 8 другими). Соединяйте строки между собой, если у них ровно один общий элемент (таких соседей 4х4 = 16). В результате получается граф Хигмана – Симса. Строки соединены с 16 другими рядами и с 6 конструкциями == степень 22. Конструкции соединены с 14 рядами и 8 непересекающимися конструкциями == степень 22. Таким образом, все 100 вершин имеют степень 22 каждая.

Алгебраические свойства

В группа автоморфизмов графа Хигмана – Симса представляет собой группу порядка 88 704 000, изоморфную полупрямой продукт из Группа Хигмана – Симса порядка 44 352 000 с циклическая группа порядка 2.[4] У него есть автоморфизмы, которые переводят любое ребро в любое другое ребро, что делает граф Хигмена – Симса реберно-транзитивный граф.[5]

Характеристический многочлен графа Хигмана – Симса равен (Икс − 22)(Икс − 2)77(Икс + 8)22. Следовательно, граф Хигмана – Симса является интегральный график: это спектр полностью состоит из целых чисел. Кроме того, это единственный граф с этим характеристическим многочленом, что делает его графом, определяемым его спектром.

Внутри решетки пиявки

Проекция графа Хигмена – Симса внутрь решетки Лича.

Граф Хигмана – Симса естественно происходит внутри Решетка пиявки: если Икс, Y и Z - три точки в решетке Пиявки такие, что расстояния XY, XZ и YZ находятся соответственно, то имеется ровно 100 точек решетки пиявки Т так что все расстояния XT, YT и ZT равны 2, и если соединить две такие точки Т и Т′ Когда расстояние между ними равно , полученный граф изоморфен графу Хигмана – Симса. Кроме того, множество всех автоморфизмов решетки Пиявки (то есть фиксирующих ее евклидовых сравнений), которые фиксируют каждый из Икс, Y и Z - группа Хигмана – Симса (если разрешить обмен Икс и Y, получено расширение порядка 2 всех автоморфизмов графов). Это показывает, что группа Хигмана – Симса находится внутри Конвей группы Co2 (с расширением порядка 2) и Co3, а следовательно, и Co1.[6]

Рекомендации

  1. ^ Хафнер, П. Р. (2004). "На графах Хоффмана – Синглтона и Хигмана – Симса" (PDF). Электронный журнал комбинаторики. 11 (1): R77 (1–32). Дои:10.37236/1830. Внешняя ссылка в | журнал = (помощь).
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «График Хигмана – Симса». MathWorld.
  3. ^ Higman, Donald G .; Симс, Чарльз С. (1968). «Простая группа порядка 44 352 000» (PDF). Mathematische Zeitschrift. 105 (2): 110–113. Дои:10.1007 / BF01110435. HDL:2027.42/46258..
  4. ^ Брауэр, Андрис Э. «График Хигмана – Симса».
  5. ^ Брауэр, А. Э. и Хемерс, В. Х. "Граф Гевиртца: Упражнение в теории графических спектров". Евро. J. Combin. 14, 397–407, 1993.
  6. ^ Конвей, Джон Х.; Слоан, Нил Дж. А. Сферические упаковки, решетки и группы. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (3-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  1-4419-3134-1. глава 10 (Джон Х. Конвей, «Три лекции об исключительных группах»), §3.5 («Группы Хигмена – Симса и Маклафлина»), стр. 292–293.
  • Меснер, Дейл Марш (1956), Исследование некоторых комбинаторных свойств частично сбалансированных неполных блочных экспериментальных планов и ассоциативных схем с детальным изучением планов латинского квадрата и родственных им типов.Докторская диссертация, Статистический факультет Мичиганского государственного университета, МИСТЕР  2612633