Героновский треугольник - Heronian triangle

В геометрия, а Героновский треугольник это треугольник который имеет длину стороны и площадь это все целые числа.^[1][2] Треугольники Герона названы в честь Герой Александрии. Иногда этот термин применяется более широко к треугольникам, у которых все стороны и площадь равны рациональное число,^[3] поскольку можно изменить масштаб сторон на общее кратное, чтобы получить треугольник, который является героновым в указанном выше смысле.

Характеристики

Любой прямоугольный треугольник, стороны которого равны Пифагорейская тройка - треугольник Герона, поскольку длины сторон такого треугольника равны целые числа, и его площадь также является целым числом, равным половине произведения двух более коротких сторон треугольника, по крайней мере одна из которых должна быть четной.

Треугольник со сторонами c, е и б + d, и высота а.

Примером треугольника Герона, который не является прямоугольным, является равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6, площадь которых равна 12. Этот треугольник получается соединением двух копий прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 вдоль сторон длины 4. Этот подход работает в целом, так как проиллюстрировано на соседнем рисунке. Берется пифагорова тройка (а, б, c), с c будучи самым большим, затем еще один (а, d, е), с е будучи наибольшим, строит треугольники с этими длинами сторон и соединяет их вместе по сторонам длины а, чтобы получить треугольник с целыми длинами сторон c, е, и б + d, а с площадью

${ Displaystyle А = { гидроразрыва {1} {2}} (б + г) а}$ (половина основания, умноженная на высоту).

Если а даже тогда область А целое число. Менее очевидно, если а странно тогда А по-прежнему целое число, так как б и d оба должны быть ровными, делая б+d даже тоже.

Некоторые треугольники Герона не могут быть получены путем соединения двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, как описано выше. Например, треугольник Герона 5, 29, 30 с площадью 72 не может быть построен из двух целочисленных треугольников Пифагора, поскольку ни один из его высоты целые числа. Также никакой примитивный треугольник Пифагора не может быть построен из двух меньших целочисленных треугольников Пифагора.^{[4]:стр.17} Такие треугольники Герона известны как неразложимый.^[4] Однако, если разрешить пифагоровы тройки с рациональными значениями, не обязательно целыми числами, то всегда существует разложение на прямоугольные треугольники с рациональными сторонами,^[5] потому что каждая высота треугольника Герона рациональна (так как она равна удвоенной площади целого числа, деленной на основание целого числа). Таким образом, треугольник Герона со сторонами 5, 29, 30 может быть построен из рациональных треугольников Пифагора со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Обратите внимание, что тройка Пифагора с рациональными значениями просто масштабированная версия тройки с целыми значениями.

Другие свойства треугольников Герона следующие:

• Периметр треугольника Герона всегда является четным числом.^[6] Таким образом, каждый треугольник Герона имеет нечетное число сторон четной длины,^[7]:стр.3 и каждый примитивный треугольник Герона имеет ровно одну четную сторону.
• Полупериметр s треугольника Герона со сторонами а, б и c никогда не может быть простым. Это видно из того, что s (s − a) (s − b) (s − c) должен быть идеальным квадратом, и если s простое число, то одно из других членов должно иметь s как фактор, но это невозможно, поскольку все эти термины меньше, чем s.
• Площадь треугольника Герона всегда делится на 6.^[6]
• Все высоты треугольника Герона рациональны.^[8] Это видно из того факта, что площадь треугольника составляет половину одной стороны, умноженной на высоту с этой стороны, а треугольник Герона имеет целые стороны и площадь. Некоторые треугольники Герона имеют три нецелочисленных высоты, например острый (15, 34, 35) с площадью 252 и тупой (5, 29, 30) с площадью 72. Любой треугольник Герона с одной или несколькими нецелыми высотами может масштабироваться на коэффициент, равный наименьшему общему кратному знаменателей высот, чтобы получить похожий Треугольник Герона с тремя целыми высотами.
• Треугольники Герона, не имеющие целой высоты (неразложимый и непифагорейские) имеют стороны, которые делятся на простые числа вида 4k+1.^[4] Однако у разложимых треугольников Герона должны быть две стороны, которые являются гипотенузами треугольников Пифагора. Следовательно, все треугольники Герона, не являющиеся пифагоровыми, имеют по крайней мере две стороны, которые делятся на простые числа формы 4.k+1. Остались только треугольники Пифагора. Следовательно, у всех треугольников Герона есть хотя бы одна сторона, которая делится на простые числа вида 4k+1. Наконец, если треугольник Герона имеет только одну сторону, делящуюся на простые числа вида 4k+1 он должен быть пифагорейским со стороной как гипотенуза и гипотенуза должны быть делится на 5.
• Все внутренние перпендикулярные биссектрисы треугольника Герона рациональны: для любого треугольника они задаются ${ displaystyle p_ {a} = { tfrac {2aA} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}$ ${ displaystyle p_ {b} = { tfrac {2bA} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},}$ и ${ displaystyle p_ {c} = { tfrac {2cA} {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}}},}$ где стороны а ≥ б ≥ c и площадь А;^[9] в треугольнике Герона все а, б, c, и А целые числа.
• Равносторонних треугольников Герона не бывает.^[8]
• Не существует треугольников Герона со стороной 1 или 2.^[10]
• Существует бесконечное количество примитивных треугольников Герона с длиной одной стороны, равной а при условии, что а> 2.^[10]
• Не существует треугольников Герона, стороны которых образуют геометрическая прогрессия.^[11]
• Если любые две стороны (но не три) треугольника Герона имеют общий множитель, этот множитель должен быть суммой двух квадратов.^[12]
• Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади Площадь = (1/2)ab грех C, в котором площадь и стороны а и б являются целыми числами и, что эквивалентно, для других углов.
• Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный косинус. Это следует из закон косинусов , c² = а² + б² − 2ab потому что C, в котором стороны а, б, и c являются целыми числами и, что эквивалентно, для других углов.
• Поскольку все треугольники Герона имеют рациональные синусы и косинусы углов, это означает, что каждый наклонный угол треугольника Герона имеет рациональную касательную, котангенс, секанс и косеканс. Кроме того, половина каждого угла имеет рациональную касательную, потому что tan C / 2 = sin C / (1 + cos C), и то же самое для других углов.
• Не существует треугольников Герона, три внутренних угла которых образуют арифметическую прогрессию. Это потому, что все плоские треугольники с углами в арифметической прогрессии должны иметь один угол 60 °, который не имеет рационального синуса.^[13]
• У любого квадрата, вписанного в треугольник Герона, есть рациональные стороны: для общего треугольника вписанный квадрат на стороне длины а имеет длину ${ displaystyle { tfrac {2Aa} {a ^ {2} + 2A}}}$ куда А площадь треугольника;^[14] в треугольнике Герона оба А и а целые числа.
• Каждый треугольник Герона имеет рациональное inradius (радиус вписанного круга): для общего треугольника inradius - это отношение площади к половине периметра, и оба они рациональны в треугольнике Герона.
• Каждый треугольник Герона имеет рациональное по окружности (радиус описанной окружности): для общего треугольника радиус описанной окружности равен одной четвертой произведению сторон, деленных на площадь; в треугольнике Герона стороны и площадь являются целыми числами.
• В треугольнике Герона расстояние от центроид с каждой стороны рационально, потому что для всех треугольников это расстояние является отношением удвоенной площади к трехкратной длине стороны.^[15] Это можно обобщить, заявив, что все центры, связанные с треугольниками Герона, барицентрические координаты рациональные соотношения имеют рациональное расстояние с каждой стороны. Эти центры включают центр окружности, ортоцентр, центр девяти точек, симедианная точка, Точка Жергонна и Точка Нагеля.^[16]
• Все треугольники Герона можно разместить на решетке, каждая вершина которой находится в точке решетки.^[17]

Точная формула для всех треугольников Герона

Индийский математик Брахмагупта (598-668 гг.) Получил параметрическое решение, такое, что каждый треугольник Герона имеет стороны, пропорциональные:^[18][19]

${ Displaystyle а = п (м ^ {2} + к ^ {2})}$

${ displaystyle b = m (n ^ {2} + k ^ {2})}$

${ Displaystyle с = (т + п) (мн-к ^ {2})}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = s = (a + b + c) / 2 = mn (m + n)}$

${ displaystyle { text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2})}$

${ displaystyle { text {Inradius}} = k (mn-k ^ {2})}$

${ Displaystyle с-а = п (мн-к ^ {2})}$

${ displaystyle s-b = m (mn-k ^ {2})}$

${ Displaystyle s-c = (м + п) к ^ {2}}$

для целых чисел м, п и k куда:

${ Displaystyle НОД {(т, п, к)} = 1}$

${ displaystyle mn> к ^ {2} geq 1}$

${ Displaystyle м geq п geq 1}$.

Коэффициент пропорциональности обычно является рациональным.^п⁄_q кудаq = gcd (а, б, в) сводит порожденный треугольник Герона к его примитиву ип масштабирует этот примитив до необходимого размера. Например, взяв м = 36, п = 4 и k = 3 дает треугольник с а = 5220, б = 900 и c = 5400, что аналогично треугольнику Герона 5, 29, 30, и используемый коэффициент пропорциональности имеет п = 1 и q = 180.

Препятствием для вычислительного использования параметрического решения Брахмагупты является знаменатель q коэффициента пропорциональности. q можно определить только путем расчета наибольший общий делитель трех сторон (НОД (а, б, в)) и вносит элемент непредсказуемости в процесс генерации.^[19] Самый простой способ создания списков треугольников Герона - это создать все целочисленные треугольники с максимальной длиной стороны и проверить целую площадь.

Более быстрые алгоритмы были получены Курц (2008).

Существует бесконечно много примитивных и неразложимых непифагоровых треугольников Герона с целыми значениями для inradius и все три Exradii, в том числе генерируемые^{[20]:Thm. 4}

${ displaystyle a = 25n ^ {2} + 5n-5 = 5 (5n ^ {2} + n-1),}$

${ displaystyle b = 25n ^ {3} -5n ^ {2} -7n + 3 = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1),}$

${ displaystyle c = 25n ^ {3} + 20n ^ {2} -2n-4 = (5n-2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}$

${ Displaystyle А = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1),}$

${ displaystyle r = 5n-2,}$

${ displaystyle r_ {a} = 5n + 3,}$

${ displaystyle r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1,}$

${ displaystyle r_ {c} = A = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}$

Существует бесконечно много треугольников Герона, которые можно разместить на решетке так, чтобы не только вершины находились в точках решетки, как это справедливо для всех треугольников Герона, но, кроме того, центры вписанной и вневписанной окружностей находились в точках решетки.^{[20]:Thm. 5}

См. Также формулы для Треугольники Герона с одним углом, равным дважды другому, Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии, и равнобедренные героновские треугольники.

Второй подход

Треугольник с обозначенными длинами сторон и внутренними углами. Капитал А, B и C углы, а строчные а, б, и c противоположные стороны.

Касательная к половине любого внутреннего угла треугольника Герона обязательно рациональна; см. свойства выше. Эти полууглы положительны и в сумме составляют 90 ° (π/2 радианы), потому что внутренние углы (А, B, C) сумма до 180 ° (π радианы). Начнем с выбора р = загар (А/2) и s = загар (B/2) быть любыми положительными рациональными числами, удовлетворяющими RS < 1. Предел 1 гарантирует, что угол А/2 + B/2 меньше 90 ° и, следовательно, угол C/2 будет положительным. Значение т = загар (C/2) также будет положительным рациональным числом, потому что

${ displaystyle t = tan (C / 2) = cot (90 ^ { circ} -C / 2) = cot (A / 2 + B / 2) = { frac {1- tan (A / 2) tan (B / 2)} { tan (A / 2) + tan (B / 2)}} = { frac {1-rs} {r + s}} ,.}$

Мы можем вычислить синус любого угла по формуле ${ displaystyle sin theta = { frac {2 tan ( theta / 2)} {1+ tan ^ {2} ( theta / 2)}}}$. Мы используем Закон синусов чтобы сделать вывод, что длины сторон пропорциональны синусам внутренних углов:

${ displaystyle (a, b, c) propto left ({ frac {2r} {1 + r ^ {2}}}, { frac {2s} {1 + s ^ {2}}}, { frac {2t} {1 + t ^ {2}}} right).}$

Ценности а, б, и c рациональны, потому что ценности р, s, и т рациональны. Целочисленные значения для длин сторон могут быть получены путем умножения длин сторон на целое число, которое очищает знаменатели.

Когда также бывает, что р, s, или же т равно 1, то соответствующий внутренний угол будет прямой угол и три стороны также определят Пифагорейская тройка.

Примеры

Список примитивных целочисленных треугольников Герона, отсортированный по площади и, если это то же самое, по периметр, начинается, как в следующей таблице. "Примитив" означает, что наибольший общий делитель длина трех сторон равна 1.

Списки примитивных треугольников Герона, стороны которых не превышают 6 000 000, можно найти на «Списки примитивных треугольников Герона». Саша Курц, Байройтский университет, Германия. Получено 29 марта 2016.

Равные треугольники

Форма называется уравновешенный если его площадь равна периметру. Ровных треугольников Герона ровно пять: с длинами сторон (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10 , 17).^[21][22]

Почти равносторонние треугольники Герона

Поскольку площадь равносторонний треугольник с рациональными сторонами - это иррациональный номер, ни один равносторонний треугольник не является героновским. Однако существует уникальная последовательность треугольников Герона, которые являются «почти равносторонними», потому что три стороны имеют форму п − 1, п, п + 1. Метод генерации всех решений этой проблемы на основе непрерывные дроби был описан в 1864 г. Эдвард Санг,^[23] и в 1880 г. Рейнхольд Хоппе дал выражение в закрытой форме для решений.^[24] Первые несколько примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в следующей таблице (последовательность A003500 в OEIS ):

Последующие значения п можно найти, умножив предыдущее значение на 4, а затем вычтя предыдущее значение (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14 и т. д.), таким образом:

${ Displaystyle п_ {т} = 4n_ {т-1} -n_ {т-2} ,,}$

куда т обозначает любую строку в таблице. Это Последовательность Лукаса. В качестве альтернативы формула ${ displaystyle (2 + { sqrt {3}}) ^ {t} + (2 - { sqrt {3}}) ^ {t}}$ генерирует все п. Эквивалентно пусть А = площадь и у = inradius, тогда

${ displaystyle { big (} (n-1) ^ {2} + n ^ {2} + (n + 1) ^ {2} { big)} ^ {2} -2 { big (} ( n-1) ^ {4} + n ^ {4} + (n + 1) ^ {4} { big)} = (6ny) ^ {2} = (4A) ^ {2}}$

куда {п, у} являются решениями п² − 12у² = 4. Небольшое преобразование п = 2x дает обычный Уравнение Пелла Икс² − 3у² = 1, решения которого тогда могут быть получены из правильная непрерывная дробь расширение для √3.^[25]

Переменная п имеет форму ${ displaystyle n = { sqrt {2 + 2k}}}$, куда k это 7, 97, 1351, 18817,…. Числа в этой последовательности обладают тем свойством, что k последовательные целые числа имеют целое стандартное отклонение.^[26]

Смотрите также

• Героновский тетраэдр
• Брахмагупта четырехугольник
• Пентагон Роббинса
• Целочисленный треугольник # треугольники Герона

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Героновский треугольник». MathWorld.
• Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей Heronian
• Wm. Фитч Чейни младший (январь 1929 г.), «Треугольники Герона», Амер. Математика. Ежемесячно, 36 (1): 22–28, JSTOR  2300173
• С. ш. Кожегельдинов (1994), «О фундаментальных треугольниках Герона», Математика. Примечания, 55 (2): 151–6, Дои:10.1007 / BF02113294