График Хивуда - Heawood graph

График Хивуда
Heawood Graph.svg
Названный в честьПерси Джон Хивуд
Вершины14
Края21
Радиус3
Диаметр3
Обхват6
Автоморфизмы336 (PGL2(7) )
Хроматическое число2
Хроматический индекс3
Род1
Толщина книги3
Номер очереди2
ХарактеристикиДвудольный
Кубический
Клетка
Дистанционно-транзитивный
Дистанционно-регулярный
Тороидальный
Гамильтониан
Симметричный
Ориентированно простой
Таблица графиков и параметров

в математический поле теория графов, то График Хивуда является неориентированный граф с 14 вершинами и 21 ребром, названный в честь Перси Джон Хивуд.[1]

Комбинаторные свойства

График кубический, и все циклы в графе имеют шесть или более ребер. Каждый меньший кубический граф имеет более короткие циклы, поэтому этот граф представляет собой 6-клетка, наименьший кубический граф обхват 6. Это дистанционно-транзитивный граф (см. Приемная перепись ) и поэтому дистанция регулярная.[2]

Всего 24 идеальное соответствие в графе Хивуда; для каждого сопоставления набор ребер, не входящих в сопоставление, образует Гамильтонов цикл. Например, на рисунке показаны вершины графа, расположенные на цикле, причем внутренние диагонали цикла образуют соответствие. Разделив ребра цикла на два сопоставления, мы можем разделить граф Хивуда на три идеальных сопоставления (т. Е. 3-раскрасьте края ) восемью различными способами.[2] Каждые два идеальных паросочетания и каждые два гамильтоновых цикла можно преобразовать друг в друга с помощью симметрии графа.[3]

В графе Хивуда 28 шестивершинных циклов. Каждый 6-цикл не пересекается ровно с тремя другими 6-циклами; среди этих трех 6-циклов каждый является симметричной разницей двух других. Граф с одним узлом на 6-цикл и одним ребром для каждой непересекающейся пары 6-циклов - это Граф Кокстера.[4]

Геометрические и топологические свойства

Граф Хивуда - это тороидальный граф; то есть его можно без пересечений вложить в тор. Одно вложение этого типа помещает его вершины и ребра в трехмерную Евклидово пространство как множество вершин и ребер невыпуклого многогранника с топологией тора Многогранник Силасси.

Граф назван в честь Перси Джон Хивуд, который в 1890 году доказал, что при каждом подразделении тора на многоугольники многоугольные области могут быть окрашены не более чем в семь цветов.[5][6] Граф Хивуда образует подразделение тора с семью смежными областями, показывая, что эта граница жесткая.

График Хивуда - это Граф Леви из Самолет Фано, график, представляющий инцидентность между точками и линиями в этой геометрии. При такой интерпретации 6-циклы в графе Хивуда соответствуют треугольники в самолете Фано. Кроме того, граф Хивуда - это Здание сисек группы SL3(F2).

График Хивуда имеет номер перехода 3, и является наименьшим кубическим графом с этим числом пересечения (последовательность A110507 в OEIS ). Включая граф Хивуда, есть 8 различных графов порядка 14 с пересечением номер 3.

Граф Хивуда - это наименьший кубический граф с Граф инвариант Колина де Вердьера μ = 6. [7]

Граф Хивуда - это график единичного расстояния: он может быть вложен в плоскость таким образом, чтобы смежные вершины находились на расстоянии ровно один, без двух вершин, вложенных в одну и ту же точку, и ни одной вершины, вложенной в точку внутри ребра.[8]

Алгебраические свойства

В группа автоморфизмов графа Хивуда изоморфен проективная линейная группа PGL2(7), группа порядка 336.[9] Он действует транзитивно на вершинах, на ребрах и на дугах графа. Следовательно, граф Хивуда является симметричный граф. У него есть автоморфизмы, которые переводят любую вершину в любую другую вершину и любое ребро в любое другое ребро. Более того, граф Хивуда 4-дуговые переходные.[10]Согласно Приемная перепись, граф Хивуда, обозначаемый как F014A, является единственным кубическим симметричным графом с 14 вершинами.[11][12]

Она имеет толщина книги 3 и номер очереди 2.[13]

В характеристический многочлен графа Хивуда . Это единственный граф с таким характеристическим полиномом, что делает его графом, определяемым его спектром.

Галерея

Рекомендации

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. "График Хивуда". MathWorld.
  2. ^ а б Брауэр, Андрис Э. "График Хивуда". Дополнения и исправления к книге Дистанционно-регулярные графы (Брауэр, Коэн, Ноймайер; Спрингер; 1989). Внешняя ссылка в | работа = (Помогите)
  3. ^ Abreu, M .; Aldred, R. E. L .; Функ, М .; Джексон, Билл; Labbate, D .; Шихан, Дж. (2004), "Графы и орграфы со всеми изоморфными 2-факторами", Журнал комбинаторной теории, Серия B, 92 (2): 395–404, Дои:10.1016 / j.jctb.2004.09.004, Г-Н  2099150.
  4. ^ Дейтер, Итало Дж. (2011), «От графа Кокстера к графу Клейна», Журнал теории графов, arXiv:1002.1960, Дои:10.1002 / jgt.20597.
  5. ^ Браун, Эзра (2002). «Многие имена (7,3,1)» (PDF). Математический журнал. 75 (2): 83–94. Дои:10.2307/3219140. JSTOR  3219140. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-02-05. Получено 2006-10-27.
  6. ^ Хивуд, П. Дж. (1890). «Теоремы о раскраске карт». Ежеквартально J. Math. Оксфорд Сер. 24: 322–339.
  7. ^ Хайн ван дер Холст (2006). «Графики и препятствия в четырех измерениях» (PDF). Журнал комбинаторной теории, Серия B. 96 (3): 388–404. Дои:10.1016 / j.jctb.2005.09.004.
  8. ^ Гербрахт, Эберхард Х.-А. (2009). «Одиннадцать вложений единичного расстояния графа Хивуда». arXiv:0912.5395. Bibcode:2009arXiv0912.5395G. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите).
  9. ^ Бонди, Дж. А.; Мурти, США. (1976). Теория графов с приложениями. Нью-Йорк: Северная Голландия. п.237. ISBN  0-444-19451-7. Архивировано из оригинал на 2010-04-13. Получено 2019-12-18.
  10. ^ Кондер и Мортон (1995). «Классификация трехвалентных симметричных графов малого порядка». Австралазийский журнал комбинаторики. 11: 146.
  11. ^ Ройл, Г. «Кубические симметричные графы (перепись Фостера)». В архиве 2008-07-20 на Wayback Machine
  12. ^ Кондер, М. и Добчани П. «Трехвалентные симметричные графы до 768 вершин». J. Combin. Математика. Комбинировать. Comput. 40, 41-63, 2002.
  13. ^ Джессика Вольц, Инженерные линейные схемы с SAT. Магистерская работа, Тюбингенский университет, 2018 г.