Скорость роста (теория групп) - Growth rate (group theory)

В математическом предмете геометрическая теория групп, то скорость роста из группа относительно симметричной генераторная установка описывает, насколько быстро растет группа. Каждый элемент в группе может быть записан как произведение генераторов, а скорость роста учитывает количество элементов, которые могут быть записаны как произведение длины. п.

Определение

Предполагать грамм конечно порожденная группа; и Т конечный симметричный набор из генераторы (симметричный означает, что если ${ displaystyle x in T}$ тогда ${ displaystyle x ^ {- 1} in T}$ ) .Любой элемент ${ displaystyle x in G}$ можно выразить как слово в Т-алфавит

{ displaystyle x = a_ {1} cdot a_ {2} cdots a_ {k} { text {where}} a_ {i} in T.}

Рассмотрим подмножество всех элементов грамм которое может быть выражено таким словом длины ≤п

{ displaystyle B_ {n} (G, T) = {x in G mid x = a_ {1} cdot a_ {2} cdots a_ {k} { text {where}} a_ {i} in T { text {and}} k leq n }.}

Этот набор просто закрытый мяч радиуса п в слово метрика d на грамм относительно генераторной установки Т:

{ Displaystyle B_ {n} (G, T) = {x in G mid d (x, e) leq n }.}

Более геометрически, ${ displaystyle B_ {n} (G, T)}$ - множество вершин в Граф Кэли относительно Т которые находятся на расстоянии п личности.

Учитывая две неубывающие положительные функции а и б можно сказать, что они эквивалентны ( ${ displaystyle a sim b}$ ), если существует постоянная C такой, что для всех натуральных чиселп,

{ Displaystyle а (п / С) Leq Ь (п) Leq а (Сп), ,}

Например ${ displaystyle p ^ {n} sim q ^ {n}}$ если ${ displaystyle p, q> 1}$ .

Тогда темп роста группы грамм можно определить как соответствующий класс эквивалентности функции

{ Displaystyle # (п) = | B_ {п} (G, T) |,}

куда ${ displaystyle | B_ {n} (G, T) |}$ обозначает количество элементов в наборе ${ displaystyle B_ {n} (G, T)}$ . Хотя функция ${ Displaystyle # (п)}$ зависит от набора генераторов Т его скорость роста - нет (см. ниже), и поэтому скорость роста дает инвариант группы.

Слово метрика d и поэтому устанавливает ${ displaystyle B_ {n} (G, T)}$ зависят от генераторной установки Т. Однако любые две такие метрики билипшиц эквивалент в следующем смысле: для конечных симметричных образующих E, F, существует положительная постоянная C такой, что

{ Displaystyle {1 над C} d_ {F} (x, y) leq d_ {E} (x, y) leq C d_ {F} (x, y).}

Как непосредственное следствие этого неравенства мы получаем, что скорость роста не зависит от выбора генератора.

Полиномиальный и экспоненциальный рост

Если

{ Displaystyle # (п) Leq С (п ^ {к} +1)}

для некоторых ${ Displaystyle С, к < infty}$ мы говорим, что грамм имеет полиномиальная скорость роста. Инфимум ${ displaystyle k_ {0}}$ таких k 's называется порядок полиномиального роста.В соответствии с Теорема Громова, группа полиномиального роста является практически нильпотентная группа, т.е. имеет нильпотентный подгруппа конечных индекс. В частности, порядок полиномиального роста ${ displaystyle k_ {0}}$ должен быть натуральное число а на самом деле ${ Displaystyle # (п) сим п ^ {к_ {0}}}$ .

Если ${ Displaystyle # (п) geq а ^ {п}}$ для некоторых ${ displaystyle a> 1}$ мы говорим, что грамм имеет экспоненциальный рост ставка.Каждый конечно порожденный грамм имеет не более чем экспоненциальный рост, т.е. для некоторых ${ displaystyle b> 1}$ у нас есть ${ Displaystyle # (п) leq b ^ {п}}$ .

Если ${ Displaystyle # (п)}$ растет медленнее, чем любая экспоненциальная функция, грамм имеет субэкспоненциальный темп роста. Любая такая группа послушный.

Примеры

А свободная группа конечного ранга ${ displaystyle k> 1}$ имеет экспоненциальную скорость роста.
А конечная группа имеет постоянный рост, то есть полиномиальный рост порядка 0, и это включает фундаментальные группы из коллекторы чей универсальный чехол является компактный.
Если M это закрыто отрицательно изогнутый Риманово многообразие тогда это фундаментальная группа ${ Displaystyle pi _ {1} (М)}$ имеет экспоненциальный темп роста. Джон Милнор доказал это, используя тот факт, что слово метрика на ${ Displaystyle pi _ {1} (М)}$ является квазиизометрический к универсальный чехол из M.
В свободная абелева группа ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {d}}$ имеет полиномиальную скорость роста порядка d.
В дискретная группа Гейзенберга ${ displaystyle H_ {3}}$ имеет полиномиальную скорость роста порядка 4. Этот факт является частным случаем общей теоремы Хайман Басс и Ив Гиварх что обсуждается в статье о Теорема Громова.
В группа фонарщиков имеет экспоненциальный рост.
Существование групп с промежуточный рост, т.е. субэкспоненциальный, а не полиномиальный, был открыт много лет. Вопрос был задан Милнором в 1968 году, и, наконец, получил положительный ответ. Ростислав Григорчук в 1984 году. В этой области все еще остаются нерешенными вопросы, и полная картина того, какие порядки роста возможны, а какие нет, отсутствует.
В группы треугольников включают бесконечно много конечных групп (сферические, соответствующие сфере), три группы квадратичного роста (евклидовы, соответствующие евклидовой плоскости) и бесконечно много групп экспоненциального роста (гиперболические, соответствующие гиперболической плоскости).

Смотрите также

Связь с изопериметрическими неравенствами

дальнейшее чтение

Ростислав Григорчук и Игорь Пак (2006). «Группы среднего роста: введение для начинающих». arXiv:math.GR/0607384.