Золотой угол - Golden angle

Золотой угол - это угол, образуемый меньшей (красной) дугой, когда две дуги, составляющие круг, находятся в Золотое сечение

В геометрия, то золотой угол это меньший из двух углы создается путем разделения окружности круга в соответствии с Золотое сечение; то есть на два дуги так, чтобы отношение длины меньшей дуги к длине большей дуги было таким же, как отношение длины большей дуги к полной длине окружности.

Алгебраически пусть а + б быть окружностью круг, разделенный на более длинную дугу длины а и меньшая дуга длины б такой, что

${ displaystyle { frac {a + b} {a}} = { frac {a} {b}}}$

Золотой угол - это угол поданный по меньшей дуге длины б. Он измеряет приблизительно 137,5077640500378546463487 ... ° OEIS: A096627 или в радианы 2.39996322972865332 ... OEIS: A131988.

Название происходит от связи золотого угла с Золотое сечение φ; точное значение золотого угла

${ displaystyle 360 ​​ left (1 - { frac {1} { varphi}} right) = 360 (2- varphi) = { frac {360} { varphi ^ {2}}} = 180 ( 3 - { sqrt {5}}) { text {градусы}}}$

или же

${ displaystyle 2 pi left (1 - { frac {1} { varphi}} right) = 2 pi (2- varphi) = { frac {2 pi} { varphi ^ {2 }}} = pi (3 - { sqrt {5}}) { text {радианы}},}$

где эквивалентности следуют из хорошо известных алгебраических свойств золотого сечения.

Вывод

Золотое сечение равно φ = а/б учитывая вышеуказанные условия.

Позволять ƒ быть частью окружности, образуемой золотым углом, или, что эквивалентно, золотым углом, деленным на угловое измерение круга.

${ displaystyle f = { frac {b} {a + b}} = { frac {1} {1+ varphi}}.}$

Но с тех пор

${ displaystyle {1+ varphi} = varphi ^ {2},}$

следует, что

${ displaystyle f = { frac {1} { varphi ^ {2}}}}$

Это эквивалентно тому, что φ ² золотые углы могут уместиться в круг.

Следовательно, доля круга, занимаемого золотым углом, равна

${ displaystyle f приблизительно 0,381966. ,}$

Золотой угол грамм поэтому можно численно аппроксимировать градусы в качестве:

${ displaystyle g приблизительно 360 раз 0,381966 приблизительно 137,508 ^ { circ}, ,}$

или в радианах как:

${ Displaystyle г примерно 2 пи раз 0,381966 примерно 2,39996. ,}$

Золотой угол в природе

Угол между следующими друг за другом цветочками у некоторых цветов - золотой угол.

Золотой угол играет значительную роль в теории филлотаксис; например, золотой угол - это угол, разделяющий цветочки на подсолнечник.^[1] Анализ рисунка показывает, что он очень чувствителен к углу, разделяющему человека. примордия, причем угол Фибоначчи дает парастихия с оптимальной плотностью упаковки.^[2]

Математическое моделирование вероятного физического механизма развития цветков показало закономерность, спонтанно возникающую при решении нелинейного уравнения в частных производных на плоскости.^[3][4]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Золотой угол в MathWorld