Геометрическая теория меры - Geometric measure theory

В математика, геометрическая теория меры (время по Гринвичу) является изучение геометрический свойства наборы (обычно в Евклидово пространство ) через теория меры. Это позволяет математикам расширять инструменты из дифференциальная геометрия гораздо большему классу поверхности это не обязательно гладкий.

История

Геометрическая теория меры родилась из желания решить Проблема плато (названный в честь Плато Джозеф ), который спрашивает, если для каждой гладкой замкнутой кривой в ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ существует поверхность наименее площадь среди всех поверхностей, граница равна заданной кривой. Такие поверхности имитируют мыльные фильмы.

Проблема оставалась открытой с момента ее постановки в 1760 г. Лагранж. Она была решена независимо в 1930-е гг. Джесси Дуглас и Тибор Радо при определенных топологический ограничения. В 1960 г. Герберт Федерер и Венделл Флеминг использовал теорию токи с помощью которого они смогли решить ориентируемую проблему Плато аналитически без топологических ограничений, что положило начало геометрической теории меры. Потом Джин Тейлор после Фред Альмгрен доказано Законы Плато для типа особенностей, которые могут иметь место в этих более общих мыльных пленках и скоплениях мыльных пузырей.

Важные понятия

Следующие объекты занимают центральное место в геометрической теории меры:

• Исправляемый наборы (или Радоновые меры ), которые наборы с минимально возможной регулярностью, необходимой для принятия приближенного касательные пространства.
• Течения, обобщение концепции ориентированный коллекторы, возможно, с граница.
• Плоские цепи, альтернативное обобщение концепции коллекторы, возможно, с граница.
• Наборы Caccioppoli (также известные как множества локально конечного периметра), обобщение концепции коллекторы на котором Теорема расходимости применяется.

Следующие теоремы и концепции также являются центральными:

• Формула площади, обобщающая понятие замена переменных в интеграции.
• В формула coarea, который обобщает и адаптирует Теорема Фубини к геометрической теории меры.
• В изопериметрическое неравенство, в котором говорится, что наименьшее возможное длина окружности для данного площадь это раунд круг.
• Плоская конвергенция, обобщающее понятие сходимости многообразий.

Примеры

В Неравенство Брунна – Минковского. для п-размерные объемы выпуклые тела K и L,

${displaystyle mathrm {vol} {ig (} (1-лямбда) K + лямбда L {ig)} ^ {1 / n} geq (1-лямбда) mathrm {vol} (K) ^ {1 / n} + lambda , mathrm {vol} (L) ^ {1 / n},}$

может быть доказано на одной странице и быстро дает классический изопериметрическое неравенство. Неравенство Брунна – Минковского также приводит к Теорема Андерсона в статистике. Доказательство неравенства Брунна – Минковского предшествовало современной теории меры; развитие теории меры и Интеграция Лебега позволили установить связи между геометрией и анализом до такой степени, что в интегральной форме неравенства Брунна – Минковского, известного как Неравенство Прекопы – Лейндлера геометрия кажется почти полностью отсутствующей.

Смотрите также

• Набор Caccioppoli
• Формула Coarea
• Течения
• Герберт Федерер
• Кривая Осгуда

Рекомендации

• Федерер, Герберт; Флеминг, Венделл Х. (1960), «Нормальные и интегральные токи», Анналы математики, II, 72 (4): 458–520, Дои:10.2307/1970227, JSTOR  1970227, МИСТЕР  0123260, Zbl  0187.31301. Первая статья Федерер и Флеминг, иллюстрирующие свой подход к теории периметров на основе теории токи.
• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры, серия Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., стр. xiv + 676, ISBN  978-3-540-60656-7, МИСТЕР  0257325
• Федерер, Х. (1978), "Коллоквиумные лекции по геометрической теории меры", Бык. Амер. Математика. Soc., 84 (3): 291–338, Дои:10.1090 / S0002-9904-1978-14462-0
• Фоменко, Анатолий Т. (1990), Вариационные принципы в топологии (теория многомерных минимальных поверхностей), Математика и ее приложения (Книга 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-0792302308
• Гарднер, Ричард Дж. (2002), "Неравенство Брунна-Минковского", Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.), 39 (3): 355–405 (электронная), Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2, ISSN  0273-0979, МИСТЕР  1898210
• Маттила, Пертти (1999), Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах, Лондон: Издательство Кембриджского университета, стр. 356, г. ISBN  978-0-521-65595-8
• Морган, Фрэнк (2009), Теория геометрической меры: руководство для начинающих (Четвертое изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press Inc., стр. Viii + 249, ISBN  978-0-12-374444-9, МИСТЕР  2455580
• Тейлор, Джин Э. (1976), "Структура особенностей в минимальных поверхностях типа мыльных пузырей и мыльных пленок", Анналы математики, Вторая серия, 103 (3): 489–539, Дои:10.2307/1970949, JSTOR  1970949, МИСТЕР  0428181.
• О'Нил, Т. (2001) [1994], «Геометрическая теория меры», Энциклопедия математики, EMS Press

внешняя ссылка

• Страница Питера Мёртерса по Гринвичу [1]
• Страница GMT Тоби О'Нила со ссылками [2]