Плоская конвергенция - Flat convergence

В математика, плоская конвергенция понятие сходимости подмногообразий евклидова пространства. Впервые он был представлен Хасслер Уитни в 1957 г., а затем распространился на интегральные токи к Федерер и Флеминга в 1960 году. Он составляет фундаментальную часть области геометрическая теория меры. Это понятие было применено для поиска решений Проблема плато. В 2001 году понятие интегрального тока было распространено на произвольные метрические пространства с помощью Амбросио и Кирхгайм.

Интегральные токи

А k-размерный ток Т - полилинейный вещественнозначный оператор на гладкой k-форм. Например, учитывая Карта Липшица из многообразие в Евклидово пространство, F: N^k → р^п, имеется интегральный ток Т(ω) определяется интегрированием откат дифференциала k-форма, ω, над N. Токи имеют понятие границы ${ displaystyle partial {T}}$ (что является обычной границей, когда N многообразие с краем) и понятие массы, M(Т), (что является объемом изображенияN). Целочисленный выпрямляемый ток определяется как счетная сумма токов, образующихся при этом. Интегральный ток - это целочисленный спрямляемый ток, граница которого имеет конечную массу. Согласно глубокой теореме Федерера-Флеминга, граница в этом случае также является интегральным током.

Плоская норма и плоское расстояние

Плоская норма |Т| из k-мерный интегральный ток Т это нижняя грань M(А) + M(B), где точная нижняя грань берется по всем интегральным токам А и B такой, что ${ displaystyle T = A + partial B}$.

Тогда ровное расстояние между двумя интегральными токами равно d_F(Т,S) = |Т − S|.

Теорема компактности

Федерер-Флеминг доказал, что если есть последовательность интегральных токов ${ displaystyle T_ {i}}$ носители которой лежат в компакте K с равномерной верхней оценкой ${ Displaystyle M (T_ {i}) + M ( partial T_ {i})}$, то подпоследовательность сходится в плоском смысле к целому току.

Эта теорема была применена к изучению последовательностей подмногообразий с фиксированной границей, объем которых приближается к точной нижней грани по всем объемам подмногообразий с данной границей. Это произвело слабое решение для Проблема плато.

Рекомендации

• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры, серия Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., стр. xiv + 676, ISBN  978-3-540-60656-7, МИСТЕР  0257325
• Федерер, Х. (1978), «Коллоквиум лекций по геометрической теории меры», Бык. Амер. Математика. Soc., 84 (3): 291–338, Дои:10.1090 / S0002-9904-1978-14462-0

• Морган, Фрэнк (2009), Теория геометрической меры: руководство для начинающих (Четвертое изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press Inc., стр. Viii + 249, ISBN  978-0-12-374444-9, МИСТЕР  2455580
• Амбросио, Луиджи; Кирхгайм, Бернд (2000), "Токи в метрических пространствах", Acta Mathematica, 185: 1–80, Дои:10.1007 / bf02392711