Фундаментальный класс - Fundamental class

эта статья не цитировать Любые источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Фундаментальный класс»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то фундаментальный класс это гомология класс [M] связан с связанный ориентируемый компактный коллектор измерения п, что соответствует генератору группы гомологий ${ Displaystyle H_ {п} (M, partial M; mathbf {Z}) cong mathbf {Z}}$ . Фундаментальный класс можно рассматривать как ориентацию многомерного симплексы подходящей триангуляции многообразия.

Определение

Закрытый, ориентируемый

Когда M это связанный ориентируемый закрытый коллектор измерения п, группа высших гомологий бесконечный циклический: ${ Displaystyle Н_ {п} (М, mathbf {Z}) cong mathbf {Z}}$, а ориентация - это выбор генератора, выбор изоморфизма ${ displaystyle mathbf {Z} to H_ {n} (M, mathbf {Z})}$. Генератор называется фундаментальный класс.

Если M отключен (но все же ориентируемый), фундаментальный класс - это прямая сумма фундаментальных классов для каждого связного компонента (соответствующая ориентации для каждого компонента).

В отношениях с когомологии де Рама это представляет интегрирование по M; а именно для M гладкое многообразие, п-форма ω можно спарить с фундаментальным классом как

${ Displaystyle langle omega, [M] rangle = int _ {M} omega ,}$

который является интегралом от ω по M, и зависит только от класса когомологий ω.

Класс Штифеля-Уитни

Если M не ориентируется, ${ Displaystyle Н_ {п} (М, mathbf {Z}) ncong mathbf {Z}}$, поэтому нельзя определить фундаментальный класс M живущие внутри целых чисел. Однако каждое замкнутое многообразие ${ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}$-ориентируемый, и ${ Displaystyle Н_ {п} (М, mathbf {Z} _ {2}) = mathbf {Z} _ {2}}$ (для M связанный). Таким образом, каждое замкнутое многообразие является ${ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}$-ориентированный (не только ориентированныйспособный: нет двусмысленности в выборе ориентации), имеет ${ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}$-фундаментальный класс.

Эта ${ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}$-фундаментальный класс используется при определении Класс Штифеля – Уитни.

С границей

Если M компактное ориентируемое многообразие с краем, то группа верхних относительных гомологий снова бесконечная циклическая ${ Displaystyle Н_ {п} (М, частичное М) cong mathbf {Z}}$, а понятие фундаментального класса распространяется на относительный случай.

Двойственность Пуанкаре

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2008 г.)

Для любой абелевой группы ${ displaystyle G}$ и неотрицательное целое число ${ displaystyle q geq 0}$ можно получить изоморфизм

${ displaystyle [M] frown ~: H ^ {q} (M; G) rightarrow H_ {n-q} (M; G)}$ .

используя конечное произведение фундаментального класса и ${ displaystyle q}$ -группа когомологий. Этот изоморфизм дает двойственность Пуанкаре:

${ Displaystyle H ^ {*} (M; G) cong H_ {n - *} (M; G)}$ .

Двойственность Пуанкаре распространяется на относительный случай.

Смотрите также Искривленная двойственность Пуанкаре

Приложения

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2008 г.)

в Разложение Брюа из разновидность флага из Группа Ли фундаментальный класс соответствует верхней размерности Ячейка Шуберта, или эквивалентно самый длинный элемент группы Кокстера.

Смотрите также

• Самый длинный элемент группы Кокстера
• Двойственность Пуанкаре

внешние ссылки

• Фундаментальный класс в Manifold Atlas.
• Статья в энциклопедии математики о фундаментальный класс.