Искривленная двойственность Пуанкаре - Twisted Poincaré duality

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Январь 2015) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математике искривленная двойственность Пуанкаре это теорема, снимающая ограничение на Двойственность Пуанкаре к ориентированные многообразия. Существование глобальной ориентации заменяется переносом локальной информации с помощью система местных коэффициентов.

Скрученная двойственность Пуанкаре для когомологий де Рама

Другая версия теоремы с вещественными коэффициентами особенности когомологии де Рама со значениями в связка ориентации. Это плоский настоящий линейный пакет обозначенный ${ Displaystyle о (М)}$, которое тривиализуется координатными картами многообразия ${ displaystyle M}$, с переходными картами знак Определитель якобиана карт переходов диаграмм. Как пучок плоских линий, он имеет когомологии де Рама, обозначаемые

${ Displaystyle Н ^ {*} (М; mathbb {R} ^ {w})}$ или же ${ Displaystyle Н ^ {*} (М; о (М))}$.

За M а компактный многообразие когомологии высшей степени снабжены так называемым след морфизма

${ displaystyle theta двоеточие H ^ {d} (M; o (M)) to mathbb {R}}$,

что следует интерпретировать как интеграцию на M, т.е., оценивая против фундаментальный класс.

Двойственность Пуанкаре для дифференциальных форм тогда является конъюнкцией для M связаны, из следующих двух утверждений:

• Морфизм следа является линейным изоморфизмом.
• Чашечное изделие или внешний продукт дифференциальных форм

${ Displaystyle чашка двоеточие H ^ {*} (M; mathbb {R}) otimes H ^ {d - *} (M, o (M)) to H ^ {d} (M, o ( M)) simeq mathbb {R}}$

невырожден.

Ориентированная Двойственность Пуанкаре содержится в этом утверждении, как следует из того факта, что ориентационное расслоение о (М) тривиально, если многообразие ориентировано, причем ориентация является глобальной тривиализацией, т.е., нигде не исчезающий параллельный участок.

Смотрите также

• Локальная система
• Дуализирующая связка
• Двойственность Вердье

Рекомендации

• Некоторые ссылки приведены в ответы на эту тему на MathOverflow.
• Электронная книга Алгебраическая и геометрическая хирургия к Эндрю Раники.
• Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Тексты для выпускников по математике. 82. Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN  0-387-90613-4. МИСТЕР  0658304.