Куратовский вложение - Kuratowski embedding

В математика, то Куратовский вложение позволяет просматривать любые метрическое пространство как подмножество некоторых Банахово пространство. Он назван в честь Казимеж Куратовски.

В частности, если (Икс,d) - метрическое пространство, Икс₀ это точка в Икс, и C_б(Икс) обозначает банахово пространство всех ограниченных непрерывный действительные функции на Икс с верхняя норма, то карта

${ Displaystyle Phi: X rightarrow C_ {b} (X)}$

определяется

${ Displaystyle Phi (x) (y) = d (x, y) -d (x_ {0}, y) quad { mbox {для всех}} quad x, y in X}$

является изометрия.^[1]

Обратите внимание, что это вложение зависит от выбранной точки Икс₀ и поэтому не совсем каноничен.

В Куратовски – Войдыславский Теорема утверждает, что каждое ограниченное метрическое пространство Икс изометрично закрытое подмножество из выпуклый подмножество некоторого банахова пространства.^[2] (N.B. образ этого вложения замкнут в выпуклом подмножестве, не обязательно в банаховом пространстве.) Здесь мы используем изометрию

${ Displaystyle Psi: X rightarrow C_ {b} (X)}$

определяется

${ Displaystyle Psi (x) (y) = d (x, y) quad { mbox {для всех}} quad x, y in X}$

Упомянутое выше выпуклое множество - это выпуклый корпус из Ψ (Икс).

В обеих теоремах вложения мы можем заменить C_б(Икс) банаховым пространством ℓ ^∞(Икс) всех ограниченных функций Икс → р, снова с нормой супремума, так как C_б(Икс) - замкнутое линейное подпространство в ℓ ^∞(Икс).

Эти результаты вложения полезны, потому что банаховы пространства обладают рядом полезных свойств, не общих для всех метрических пространств: они векторные пространства который позволяет добавлять точки и выполнять элементарную геометрию с использованием линий и плоскостей и т. д .; и они являются полный. Учитывая функцию с codomain Икс, часто желательно расширить эту функцию на более крупную область, и это часто требует одновременного увеличения кодомена до банахова пространства, содержащего Икс.

История

Формально это вложение было впервые введено Куратовски,^[3]но очень близкая вариация этого вложения появляется уже в работе Фреше^[4] где он впервые вводит понятие метрического пространства.

Смотрите также

• Узкий промежуток, вложение любого метрического пространства в инъективное метрическое пространство определяется аналогично вложению Куратовского

Рекомендации