Рулон египетской математической кожи - Egyptian Mathematical Leather Roll

В Рулон египетской математической кожи (EMLR) кожаный рулон 10 × 17 дюймов (25 × 43 см), приобретенный Александр Генри Райнд в 1858 г. Он был отправлен в британский музей в 1864 г. вместе с Математический папирус Райнда, но его химически не размягчали и не раскатывали до 1927 г. (Scott, Hall 1927).

Письмо состоит из Поднебесная иератический символы пишутся справа налево. Ученые датируют EMLR 17 веком до нашей эры.^[1]

Математическое содержание

Этот кожаный рулон - помощник в вычислении Египетские фракции. Он содержит 26 сумм долей единицы, которые равны другой доле единицы. Суммы появляются в двух столбцах, а за ними следуют еще два столбца, которые содержат точно такие же суммы.^[2]

Египетский кожаный свиток с математической математикой^[2]

Столбец 1	Колонка 2	Колонка 3	Колонка 4
${displaystyle {frac {1} {10}} + {frac {1} {40}} = {frac {1} {8}}}$	${displaystyle {frac {1} {30}} + {frac {1} {45}} + {frac {1} {90}} = {frac {1} {15}}}$	${displaystyle {frac {1} {10}} + {frac {1} {40}} = {frac {1} {8}}}$	${displaystyle {frac {1} {18}} + {frac {1} {36}} = {frac {1} {12}}}$
${displaystyle {frac {1} {5}} + {frac {1} {20}} = {frac {1} {4}}}$	${displaystyle {frac {1} {24}} + {frac {1} {48}} = {frac {1} {16}}}$	${displaystyle {frac {1} {5}} + {frac {1} {20}} = {frac {1} {4}}}$	${displaystyle {frac {1} {21}} + {frac {1} {42}} = {frac {1} {14}}}$
${displaystyle {frac {1} {4}} + {frac {1} {12}} = {frac {1} {3}}}$	${displaystyle {frac {1} {18}} + {frac {1} {36}} = {frac {1} {12}}}$	${displaystyle {frac {1} {4}} + {frac {1} {12}} = {frac {1} {3}}}$	${displaystyle {frac {1} {45}} + {frac {1} {90}} = {frac {1} {30}}}$
${displaystyle {frac {1} {10}} + {frac {1} {10}} = {frac {1} {5}}}$	${displaystyle {frac {1} {21}} + {frac {1} {42}} = {frac {1} {14}}}$	${displaystyle {frac {1} {10}} + {frac {1} {10}} = {frac {1} {5}}}$	${displaystyle {frac {1} {30}} + {frac {1} {60}} = {frac {1} {20}}}$
${displaystyle {frac {1} {6}} + {frac {1} {6}} = {frac {1} {3}}}$	${displaystyle {frac {1} {45}} + {frac {1} {90}} = {frac {1} {30}}}$	${displaystyle {frac {1} {6}} + {frac {1} {6}} = {frac {1} {3}}}$	${displaystyle {frac {1} {15}} + {frac {1} {30}} = {frac {1} {10}}}$
${displaystyle {frac {1} {6}} + {frac {1} {6}} + {frac {1} {6}} = {frac {1} {2}}}$	${displaystyle {frac {1} {30}} + {frac {1} {60}} = {frac {1} {20}}}$	${displaystyle {frac {1} {6}} + {frac {1} {6}} + {frac {1} {6}} = {frac {1} {2}}}$	${displaystyle {frac {1} {48}} + {frac {1} {96}} = {frac {1} {32}}}$
${displaystyle {frac {1} {3}} + {frac {1} {3}} = {frac {2} {3}}}$	${displaystyle {frac {1} {15}} + {frac {1} {30}} = {frac {1} {10}}}$	${displaystyle {frac {1} {3}} + {frac {1} {3}} = {frac {2} {3}}}$	${displaystyle {frac {1} {96}} + {frac {1} {192}} = {frac {1} {64}}}$
${displaystyle {frac {1} {25}} + {frac {1} {15}} + {frac {1} {75}} + {frac {1} {200}} = {frac {1} {8} }}$	${displaystyle {frac {1} {48}} + {frac {1} {96}} = {frac {1} {32}}}$	${displaystyle {frac {1} {25}} + {frac {1} {15}} + {frac {1} {75}} + {frac {1} {200}} = {frac {1} {8} }}$
${displaystyle {frac {1} {50}} + {frac {1} {30}} + {frac {1} {150}} + {frac {1} {400}} = {frac {1} {16} }}$	${displaystyle {frac {1} {96}} + {frac {1} {192}} = {frac {1} {64}}}$	${displaystyle {frac {1} {50}} + {frac {1} {30}} + {frac {1} {150}} + {frac {1} {400}} = {frac {1} {16} }}$
${displaystyle {frac {1} {25}} + {frac {1} {50}} + {frac {1} {150}} = {frac {1} {6}}}$		${displaystyle {frac {1} {25}} + {frac {1} {50}} + {frac {1} {150}} = {frac {1} {6}}}$
${displaystyle {frac {1} {9}} + {frac {1} {18}} = {frac {1} {6}}}$		${displaystyle {frac {1} {9}} + {frac {1} {18}} = {frac {1} {6}}}$
${displaystyle {frac {1} {7}} + {frac {1} {14}} + {frac {1} {28}} = {frac {1} {4}}}$		${displaystyle {frac {1} {7}} + {frac {1} {14}} + {frac {1} {28}} = {frac {1} {4}}}$
${displaystyle {frac {1} {12}} + {frac {1} {24}} = {frac {1} {8}}}$		${displaystyle {frac {1} {12}} + {frac {1} {24}} = {frac {1} {8}}}$
${displaystyle {frac {1} {14}} + {frac {1} {21}} + {frac {1} {42}} = {frac {1} {7}}}$		${displaystyle {frac {1} {14}} + {frac {1} {21}} + {frac {1} {42}} = {frac {1} {7}}}$
${displaystyle {frac {1} {18}} + {frac {1} {27}} + {frac {1} {54}} = {frac {1} {9}}}$		${displaystyle {frac {1} {18}} + {frac {1} {27}} + {frac {1} {54}} = {frac {1} {9}}}$
${displaystyle {frac {1} {22}} + {frac {1} {33}} + {frac {1} {66}} = {frac {1} {11}}}$		${displaystyle {frac {1} {22}} + {frac {1} {33}} + {frac {1} {66}} = {frac {1} {11}}}$
${displaystyle {frac {1} {28}} + {frac {1} {49}} + {frac {1} {196}} = {frac {1} {13}}}$		${displaystyle {frac {1} {28}} + {frac {1} {49}} + {frac {1} {196}} = {frac {1} {13}}}$
		${displaystyle {frac {1} {30}} + {frac {1} {45}} + {frac {1} {90}} = {frac {1} {15}}}$
		${displaystyle {frac {1} {24}} + {frac {1} {48}} = {frac {1} {16}}}$

Из 26 перечисленных сумм десять - Глаз Гора числа: 1/2, 1/4 (дважды), 1/8 (трижды), 1/16 (дважды), 1/32, 1/64 преобразованы из египетских дробей. Есть семь других сумм с четными знаменателями, преобразованными из египетских дробей: 1/6 (указано дважды - но неверно один раз), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 и 1/30. В качестве примера, три преобразования 1/8 сопровождались одним или двумя коэффициентами масштабирования в качестве альтернативы:

1. 1/8 x 3/3 = 3/24 = (2 + 1) / 24 = 1/12 + 1/24

2. 1/8 x 5/5 = 5/40 = (4 + 1) / 40 = 1/10 + 1/40

3. 1/8 x 25/25 = 25/200 = (8 + 17) / 200 = 1/25 + (17/200 x 6/6) = 1/25 + 102/1200 = 1/25 + (80 + 16 + 6) / 1200 = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200

Наконец, было девять сумм с нечетными знаменателями, преобразованными из египетских дробей: 2/3, 1/3 (дважды), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 и 1/15. .

Эксперты Британского музея не нашли введения или описания того, как и почему были вычислены эквивалентные ряды дробных единиц.^[3] Эквивалентные серии единиц дробей связаны с дробями 1/3, 1/4, 1/8 и 1/16. Была тривиальная ошибка, связанная с последним рядом дробей 1/15 единицы. Серия 1/15 была указана как 1/6. Другая серьезная ошибка была связана с 1/13 - проблемой, которую экзаменаторы 1927 г. не пытались решить.

Современный анализ

В оригинальных математических текстах никогда не объясняется, откуда взялись процедуры и формулы. Это справедливо и для EMLR. Ученые попытались выяснить, какие методы древние египтяне могли использовать для построения таблиц долей единиц EMLR и таблиц 2 / n, известных из Математический папирус Райнда и Математические папирусы Лахуна. Оба типа таблиц использовались для помощи в вычислениях с дробями и для преобразования единиц измерения.^[2]

Было отмечено, что в EMLR есть группы разложения единичной дроби, которые очень похожи. Например, строки 5 и 6 легко объединить в уравнение 1/3 + 1/6 = 1/2. Строки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 и 26 легко получить, разделив это уравнение на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 и 32 соответственно. .^[4]

Некоторые проблемы можно было бы решить с помощью алгоритма, который включает в себя умножение числителя и знаменателя на один и тот же член с последующим уменьшением полученного уравнения:

${displaystyle {frac {1} {pq}} = {frac {1} {N}} imes {frac {N} {pq}}}$

Этот метод приводит к решению для дроби 1/8, как показано в EMLR при использовании N = 25 (с использованием современных математических обозначений):

${displaystyle 1/8 = 1/25 imes 25/8 = 1/5 imes 25/40 = 1/5 imes (3/5 + 1/40)}$

${displaystyle = 1/5 imes (1/5 + 2/5 + 1/40) = 1/5 imes (1/5 + 1/3 + 1/15 + 1/40) = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200}$ ^[5]

Современные выводы

EMLR считается тестовым документом для студентов-писцов с 1927 года, когда этот текст был развернут в Британском музее. Писец практиковал преобразование рациональных чисел 1 / p и 1 / pq в альтернативные ряды единичных дробей. Чтение имеющихся математических записей Среднего царства, Таблица РМП 2 / н Будучи одним из них, современные изучающие египетскую арифметику могут увидеть, что обученные писцы улучшили преобразование 2 / n и n / p в краткие серии единичных дробей, применяя алгоритмические и неалгоритмические методы.

Хронология

Следующая хронология показывает несколько вех, которые отметили недавний прогресс в направлении сообщения о более четком понимании содержания EMLR, связанного с RMP 2 /п стол.

• 1895 - Хульч предположил, что все серии RMP 2 / p кодировались аликвотными частями.^[6]
• 1927 - Гланвилл пришел к выводу, что арифметика EMLR была чисто аддитивной.^[7]
• 1929 - Фогель сообщил, что EMLR более важен (чем RMP), хотя он содержит только 25 серий единичных дробей.^[8]
• 1950 - Брюинз независимо подтверждает RMP 2 компании Hultsch /п анализ (Брюинз 1950)
• 1972 - Жиллингс нашел решение более простой проблемы RMP, 2 /pq серия (Gillings 1972: 95–96).
• 1982 - Knorr определяет фракции RMP 2/35, 2/91 и 2/95 как исключения из 2 /pq проблема.^[9]
• 2002 - Гарднер выделяет пять абстрактных паттернов EMLR.^[5]
• 2018 - Дорс объясняет схему RMP 2 / p.

Смотрите также

Египетские математические тексты:

• Ахмим Деревянная Табличка
• Берлинский папирус 6619
• Математические папирусы Лахуна
• Московский математический папирус
• Папирус Рейснера

Другой:

• Liber Abaci
• Сильвия Кушуд (На французском)

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Браун, Кевин С. Папирус Ахмина 1995 - Египетские единицы измерения 1995
• Брукхаймер, Максим и Ю. Саломон. «Некоторые комментарии к анализу Р. Дж. Гиллингса таблицы 2 / n в папирусе Райнда». Historia Mathematica 4, Берлин (1977): 445–452.
• Брюинз, Эверт М. «Platon et la table égyptienne 2 / n». Янус 46, Амстердам, (1957): 253–263.
• Брюинз, Эверт М. «Египетская арифметика». Янус 68, Амстердам, (1981): 33–52.
• Брюинз, Эверт М. «Сводимые и тривиальные разложения, касающиеся египетской арифметики». Янус 68, Амстердам, (1981): 281–297.
• Даресси, Жорж. «Akhmim Wood Tablets», Le Caire Imprimerie de l’Institut Francais d’Archeologie Orientale, 1901, 95–96.
• Дорс, Карлос. «Точное вычисление разложений прямоугольной таблицы математического папируса Райнда», History Research, Volume 6, Issue 2, December 2018, 33-49.
• Гарднер, Майло. «Математический список Египта», Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах, Спрингер, ноябрь 2005 г.
• Жиллингс, Ричард Дж. «Египетский математический кожаный рулон». Австралийский научный журнал 24 (1962): 339–344, Математика во времена фараонов. Кембридж, Массачусетс: MIT Press, 1972. Нью-Йорк: Довер, перепечатка 1982.
• Джиллингс, Ричард Дж. «Ректо из математического папируса Райнда: как его подготовил древнеегипетский писец?» Архив истории точных наук 12 (1974), 291–298.
• Жиллингс, Ричард Дж. «Recto RMP и EMLR», Historia Mathematica, Toronto 6 (1979), 442–447.
• Джиллингс, Ричард Дж. «Египетская математическая кожаная ролевая линия 8. Как это сделал писец?» (Historia Mathematica 1981), 456–457.
• Ганн, Баттискомб Джордж. Рецензия на «Математический папирус Райнда» Т. Э. Пита. Журнал египетской археологии 12 Лондон, (1926): 123–137.
• Аннетт Имхаузен. «Египетские математические тексты и их контекст», «Наука в контексте», том 16, Кембридж (Великобритания), (2003): 367–389.
• Легон, Джон А. «Математический фрагмент Кахуна». Обсуждения в египтологии, 24 Оксфорд, (1992).
• Люнебург, Х. «Zerlgung von Bruchen in Stammbruche» Леонарди Пизани Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1993. 81–85.
• Рис, К. С. «Египетские дроби», Mathematical Chronicle 10, Auckland, (1981): 13–33.
• Роэро, К. С. «Египетская математика» Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук »I. Grattan-Guinness (ed), London, (1994): 30–45.
• Скотт, А. и Холл, Х.Р., «Лабораторные заметки: египетский математический кожаный свиток семнадцатого века до нашей эры», British Museum Quarterly, Vol 2, London, (1927): 56.
• Сильвестр, Дж. Дж. «Об одном моменте теории вульгарных дробей»: American Journal of Mathematics, 3 Baltimore (1880): 332–335, 388–389.

внешняя ссылка

• EMLR
• EMLR
• EMLR