Многочлен Диксона - Dickson polynomial

В математика, то Полиномы Диксона, обозначенный D_п(Икс,α), сформировать полиномиальная последовательность представлен Л. Э. Диксон  (1897 ). Они были заново открыты Брюэр (1961) в своем исследовании Суммы Брюера и иногда, хотя и редко, Полиномы Брюера.

По комплексным числам многочлены Диксона по существу эквивалентны Полиномы Чебышева с заменой переменной, и, собственно, многочлены Диксона иногда называют многочленами Чебышева.

Многочлены Диксона обычно изучаются над конечные поля, где они иногда могут не быть эквивалентными многочленам Чебышева. Одна из основных причин интереса к ним - это то, что фиксированные α, они приводят много примеров перестановочные многочлены; полиномы, действующие как перестановки конечных полей.

Определение

Первый вид

Для целого числа п > 0 и α в коммутативное кольцо р с единицей (часто выбирается как конечное поле F_q = GF (q)) Полиномы Диксона (первого вида) над р даны^[1]

${ Displaystyle D_ {п} (х, альфа) = сумма _ {я = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} { frac {n} { ni}} { binom {ni} {i}} (- alpha) ^ {i} x ^ {n-2i} ,.}$

Первые несколько полиномов Диксона:

${ displaystyle { begin {align} D_ {1} (x, alpha) & = x D_ {2} (x, alpha) & = x ^ {2} -2 alpha D_ {3 } (x, alpha) & = x ^ {3} -3x alpha D_ {4} (x, alpha) & = x ^ {4} -4x ^ {2} alpha +2 alpha ^ {2} D_ {5} (x, alpha) & = x ^ {5} -5x ^ {3} alpha + 5x alpha ^ {2} ,. End {выровнено}}}$

Они также могут быть созданы отношение повторения за п ≥ 2,

${ Displaystyle D_ {п} (х, альфа) = xD_ {п-1} (х, альфа) - альфа D_ {п-2} (х, альфа) ,,}$

с начальными условиями D₀(Икс,α) = 2 и D₁(Икс,α) = Икс.

Второй вид

Полиномы Диксона второго рода, E_п(Икс,α), определяются

${ Displaystyle E_ {п} (х, альфа) = сумма _ {я = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} { binom {ni} { i}} (- alpha) ^ {i} x ^ {n-2i}.}$

Они мало изучены и обладают свойствами, аналогичными свойствам многочленов Диксона первого рода. Первые несколько многочленов Диксона второго рода являются

${ Displaystyle { begin {align} E_ {0} (x, alpha) & = 1 E_ {1} (x, alpha) & = x E_ {2} (x, alpha) & = x ^ {2} - alpha E_ {3} (x, alpha) & = x ^ {3} -2x alpha E_ {4} (x, alpha) & = x ^ {4 } -3x ^ {2} alpha + alpha ^ {2} ,. End {выровнено}}}$

Они также могут быть порождены рекуррентным соотношением для п ≥ 2,

${ Displaystyle E_ {п} (х, альфа) = xE_ {п-1} (х, альфа) - альфа E_ {п-2} (х, альфа) ,,}$

с начальными условиями E₀(Икс,α) = 1 и E₁(Икс,α) = Икс.

Характеристики

В D_п - единственные унитарные многочлены, удовлетворяющие функциональному уравнению

${ displaystyle D_ {n} left (u + { frac { alpha} {u}}, alpha right) = u ^ {n} + left ({ frac { alpha} {u}} вправо) ^ {n},}$

куда α ∈ F_q и ты ≠ 0 ∈ F_q².^[2]

Они также удовлетворяют правилу композиции,^[2]

${ Displaystyle D_ {mn} (x, альфа) = D_ {m} { bigl (} D_ {n} (x, alpha), alpha ^ {n} { bigr)} , = D_ { n} { bigl (} D_ {m} (x, alpha), alpha ^ {m} { bigr)} ,.}$

В E_п также удовлетворяют функциональному уравнению^[2]

${ displaystyle E_ {n} left (y + { frac { alpha} {y}}, alpha right) = { frac {y ^ {n + 1} - left ({ frac { alpha } {y}} right) ^ {n + 1}} {y - { frac { alpha} {y}}}} ,,}$

за у ≠ 0, у² ≠ α, с α ∈ F_q и у ∈ F_q².

Полином Диксона у = D_п это решение обыкновенное дифференциальное уравнение

${ displaystyle left (x ^ {2} -4 alpha right) y '' + xy'-n ^ {2} y = 0 ,,}$

и полином Диксона у = E_п является решением дифференциального уравнения

${ displaystyle left (x ^ {2} -4 alpha right) y '' + 3xy'-n (n + 2) y = 0 ,.}$

Их обычные производящие функции находятся

${ displaystyle { begin {align} sum _ {n} D_ {n} (x, alpha) z ^ {n} & = { frac {2-xz} {1-xz + alpha z ^ {2 }}} sum _ {n} E_ {n} (x, alpha) z ^ {n} & = { frac {1} {1-xz + alpha z ^ {2}}} ,. конец {выровнено}}}$

Ссылки на другие многочлены

По приведенному выше рекуррентному соотношению многочлены Диксона равны Последовательности Лукаса. В частности, для α = −1, многочлены Диксона первого рода равны Фибоначчи полиномы, а полиномы Диксона второго рода - Полиномы Лукаса.

По правилу композиции выше, когда α равно идемпотент, композиция многочленов Диксона первого рода коммутативна.

• Полиномы Диксона с параметром α = 0 дайте мономы.

${ Displaystyle D_ {п} (х, 0) = х ^ {п} ,.}$

• Полиномы Диксона с параметром α = 1 связаны с Полиномы Чебышева Т_п(Икс) = cos (п arccos Икс) первого рода^[1]

${ Displaystyle D_ {n} (2x, 1) = 2T_ {n} (x) ,.}$

• Поскольку полином Диксона D_п(Икс,α) можно определить над кольцами с дополнительными идемпотентами, D_п(Икс,α) часто не связана с полиномом Чебышева.

Многочлены перестановки и многочлены Диксона

А перестановочный многочлен (для данного конечного поля) - это поле, которое действует как перестановка элементов конечного поля.

Полином Диксона D_п(Икс, α) (рассматривается как функция Икс при фиксированном α) является перестановочным многочленом для поля с q элементы тогда и только тогда, когда п взаимно прост с q² − 1.^[3]

Жареный (1970) доказал, что любой целочисленный многочлен, являющийся перестановочным многочленом для бесконечного числа простых полей, является композицией многочленов Диксона и линейных многочленов (с рациональными коэффициентами). Это утверждение стало известно как гипотеза Шура, хотя на самом деле Шур этого не делал. Поскольку статья Фрида содержала множество ошибок, исправленный отчет был дан Тернвальд (1995), а впоследствии Мюллер (1997) дал более простое доказательство в духе аргументации Шура.

Дальше, Мюллер (1997) доказал, что любой перестановочный многочлен над конечным полем F_q степень которого одновременно взаимно проста с q и меньше чем q^1/4 должен быть композицией многочленов Диксона и линейных многочленов.

Обобщение

Многочлены Диксона обоих видов над конечными полями можно рассматривать как начальные члены последовательности обобщенных многочленов Диксона, называемых многочленами Диксона от (k + 1)й вид.^[4] В частности, для α ≠ 0 ∈ F_q с q = п^е для некоторых премьер п и любые целые числа п ≥ 0 и 0 ≤ k < п, то п-го полинома Диксона (k + 1)й вид над F_q, обозначаемый D_п,k(Икс,α), определяется^[5]

${ Displaystyle D_ {0, k} (х, альфа) = 2-k}$

и

${ Displaystyle D_ {п, к} (х, альфа) = сумма _ {я = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} { frac {п -ki} {ni}} { binom {ni} {i}} (- alpha) ^ {i} x ^ {n-2i} ,.}$

D_п,0(Икс,α) = D_п(Икс,α) и D_п,1(Икс,α) = E_п(Икс,α), показывая, что это определение объединяет и обобщает исходные многочлены Диксона.

Важные свойства полиномов Диксона также обобщают:^[6]

• Отношение рецидива: За п ≥ 2,

${ Displaystyle D_ {п, к} (х, альфа) = xD_ {п-1, к} (х, альфа) - альфа D_ {п-2, к} (х, альфа) ,, }$

с начальными условиями D_0,k(Икс,α) = 2 − k и D_1,k(Икс,α) = Икс.

• Функциональное уравнение:

${ displaystyle D_ {n, k} left (y + alpha y ^ {- 1}, alpha right) = { frac {y ^ {2n} + k alpha y ^ {2n-2} + cdots + k alpha ^ {n-1} y ^ {2} + alpha ^ {n}} {y ^ {n}}} = { frac {y ^ {2n} + { alpha} ^ {n) }} {y ^ {n}}} + left ({ frac {k alpha} {y ^ {n}}} right) { frac {y ^ {2n} - { alpha} ^ {n -1} y ^ {2}} {y ^ {2} - alpha}} ,,}$

куда у ≠ 0, у² ≠ α.

• Производящая функция:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} D_ {n, k} (x, alpha) z ^ {n} = { frac {2-k + (k-1) xz} {1 -xz + alpha z ^ {2}}} ,.}$

Примечания

Рекомендации

• Брюэр, Б. У. (1961), "О некоторых суммах характера", Труды Американского математического общества, 99 (2): 241–245, Дои:10.2307/1993392, ISSN  0002-9947, JSTOR  1993392, МИСТЕР  0120202, Zbl  0103.03205
• Диксон, Л.Э. (1897). «Аналитическое представление замен в степени простого числа букв с обсуждением линейной группы I, II». Анна. математики. Анналы математики. 11 (1/6): 65–120, 161–183. Дои:10.2307/1967217. ISSN  0003-486X. JFM  28.0135.03. JSTOR  1967217.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Фрид, Майкл (1970). «По догадке Шура». Michigan Math. J. 17: 41–55. Дои:10,1307 / ммдж / 1029000374. ISSN  0026-2285. МИСТЕР  0257033. Zbl  0169.37702.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Lidl, R .; Mullen, G.L .; Турнвальд, Г. (1993). Полиномы Диксона. Монографии и обзоры Питмана по чистой и прикладной математике. 65. Longman Scientific & Technical, Харлоу; опубликовано в США совместно с John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. ISBN  978-0-582-09119-1. МИСТЕР  1237403. Zbl  0823.11070.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1983). Конечные поля. Энциклопедия математики и ее приложений. 20 (1-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-13519-0. Zbl  0866.11069.
• Маллен, Гэри Л. (2001) [1994], «Многочлены Диксона», Энциклопедия математики, EMS Press
• Mullen, Gary L .; Панарио, Даниэль (2013), Справочник конечных полей, CRC Press, ISBN  978-1-4398-7378-6
• Мюллер, Питер (1997). «Свободное доказательство гипотезы Шура с ограничением Вейля». Конечные поля и их приложения. 3: 25–32. Дои:10.1006 / ffta.1996.0170. Zbl  0904.11040.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Rassias, Thermistocles M .; Srivastava, H.M .; Янушаускас, А. (1991). Темы полиномов от одной и нескольких переменных и их приложения: наследие П.Л. Чебышева. World Scientific. С. 371–395. ISBN  978-981-02-0614-7.
• Турнвальд, Герхард (1995). «По гипотезе Шура». J. Austral. Математика. Soc. Сер. А. 58 (3): 312–357. Дои:10.1017 / S1446788700038349. МИСТЕР  1329867. Zbl  0834.11052.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Янг, Пол Томас (2002). «О модифицированных полиномах Диксона» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 40 (1): 33–40.